Inmultirea matricelor. Operatii cu matrice|Proprietati ale operatiilor cu matrice.

Matrice. Operatii cu matrice: adunarea | inmultirea | proprietati ale operatiilor cu matrice.

Definitie:Se numeste matrice de tipul (m,n) orice functie A:MxN->C.Notam A(i,j)= aij, cu aij numere complexe, i din M si j din N iar elementele aij se trec intr-un tablou cu m linii si n coloane.

Dca n=1, matricea se numestematrice coloana de tipul (m,1)

Daca m=1, matricea se numeste matrice linie de tipul (1,n).

Daca m=n, matricea se numeste matrice patratica de ordinul n. Este tipul de matrice care are diagonala principala (de la stanga spre dreapta) si diagonala secundara(de la dreapta la stanga).

Operatii cu matrice

1.Adunarea matricilor. Se face adunand elementele omoloage (care au aceiasi pozitie in cele doua matrice) dintre cele doua matrice.

Fie A=(aij), B= (bij), doua matrici de ordinul (mxn) cu elemente numere complexe.Suma celor doua matrice se defineste ca fiind matricea C=(cij) astfel:

cij=aij+bij, unde i=1,2..m; j=1,2..n si o notam C=A+B. 

Observatie: Adunarea a doua matrice se poate face daca ele sunt de acelasi ordin (numarul de linii al primeia sa coincida cu numarul de linii a celei de a doua si numarul de coloane a primeia sa fie egal cu numarul de coloane din cea de a doua matrice). 

2. Inmultirea matricelor. Se face linie cu coloana, adica se aduna inmultirile elementelor cu proprietatea ca indicele de coloana a primeia este egal cu indicele de linie pentru cea de a doua.

Fie A=(aij), B= (bjk), doua matrici de elemente numere complexe, i=1,2..m; j=1,2,..n; k=1,2,..p. Se defineste matricea C= cik prin:

numita produsul dintre A si B (in aceasta ordine).

Observatie: Produsul a doua matrice se poate face doar daca numarul de coloane a primeia este egal cu numarul de linii a celei de a doua matrice

3. Inmultirea matricilor cu scalari:Se face inmultind fiecare element al matricii A cu numarul respectiv.

Fie A=(aij), o matrice cu elemente numere complexe si b un numar natural. Definim matricea: bA=(baij); i=1,2,..m; j=1,2,..n numita produsul dintre numarul b (scalarul b) si matricea A.

1. Egalitatea matricilor: Doua matrici sunt egale daca au acelasi ordin si elementele omoloage sunt egale (aij=bij).

2. Proprietatile adunarii matricilor, adunarea este :

• 1. Parte stabila in raport cu multimea matricilor, adica A,B din Mm,n(C)=>A+B din Mm,n(C);

  2. Comutativa, adica A+B=B+A oricare ar fi A, B dinMm,n(C);

  3. Asociativa(A+B)+C=A+(B+C), oricare ar fi A, B si C din Mm,n(C);

  4. Cu element neutru, adica exista O, matricea ce are toate elementele 0 (zero) astfel incat A+O=O+A, oricare ar fi A din Mm,n(C).

  5. Cu element simetric (opus), adica pentru orice matrice A din Mm,n(C), exista A'=( -aij)din Mm,n(C) astfel incat A+A'=A'+A=O.

Observatie: Multimea matricilor cu m linii si n coloane impreuna cu adunarea matricilor (Mm,n(C), +) formeazagrup abelian. 

3.Proprietatile inmultirii matricelor, inmultirea este :

• 1. Asociativa, adica (AB)C=A(BC) (cand se pot efectua inmultirile respective);

  2. Distributiva la stanga si la dreapta fata de adunare, adica A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC;

  3. Cu element neutru fata de inmultire si anume In definita astfel: A In=In A=A, oricare ar fi A din Mm,n.

4. Proprietatile inmultirii matricilor cu scalari

• 1. 1.A=A, oricare ar fi a din Mm,n;

  2. (a+b)A=aA+bA, a din Mm,n

  3. a(A+B)=aA+aB;

  4. (ab)A=a(bA)=b(aA);

  5. a(AB)=(aA)B=A(aB)

, unde a si b sunt doi scalari reali oarecare.

5. Transpusa unei matrice A=(aij); i=1,2,..m; j=1,2,..n este matricea tA=(aji). adica liniile devin coloane si viceversa).