Ecuatia dreptei determinata de coordonatele unui punct si de panta sa. Exemple rezolvate
Ecuaţia unei drepte
Ecuaţia dreptei oblice determinată de un punct şi de o pantă data
Teorema Fie dreapta d definită prin punctul A(xA;yA) şi prin panta m . Punctul M(x, y) aparţine dreptei d dacă şi numai dacă satisface ecuaţia (adica o verifica):(1)
y - yA=m(x - xA).
Observaţie
În caz particular, ecuaţia dreptei oblice care trece prin origine este y = mx. Pentru m =
1 obţinem y = x care este ecuaţia primei bisectoare a unghiurilor axelor de coordonate (adica dreapta care imparte unghiul in doua unghiuri de masuri egale), iar pentru m = -1 găsim
y = -x care este ecuaţia celei de a doua bisectoare (dreapta care imparte cadranele II si IV in jumatati).
Exerciţii propuse
A. (incepatori)
1. Se dau dreptele de ecuaţii:
AB: 5x + 2y - 11=0 ; AC: x – y + 2=0 ; BC: 2x + 5y + 4=0 . Să se gaseasca:
Coordonatele vârfurilor triunghiului ABC;
Aria triunghiului ABC;
Distanţa de la originea sistemului de axe xOy la dreapta AC;
Ecuaţia medianei duse din C pe AB;
Ecuaţia înălţimii duse din A pe BC;
Coordonatele punctului D astfel încât ACBD să fie paralelogram;
Lungimea laturii AB;
Coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC;
Coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC.
2. Se dă triunghiul de vârfuri A(-1,3) , B(2,-1) , C(3,6).
Să se determine:
ecuaţia dreptei AC;
ecuaţia paralelei prin B la AC;
ecuaţia mediatoarei segmentului [BC];
ecuaţia medianei din C;
ecuaţia înălţimii din C.
B. (mediu)
3. Ştiind că A(1,2) este piciorul perpendicularei duse din origine pe dreapta d , să se scrie ecuaţia dreptei d.
4. Să se găsească proiecţia punctului B(-2,1) pe dreapta d : 2x + y + 1 = 0.
5. Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin punctul C(1,3) şi este echidistantă de punctele A(-1,0),B(1,-1) .
6. Să se determine coordonatele simetricelor punctului A(-1,2) faţă de dreapta d : x + y + 1 = 0 şi apoi faţă de punctul
B(-1,-4).
C. (dificile)
7. Se consideră sistemul cartezian de coordonate xOy şi punctele in plan A(3,0), B(0,2), M(3, -3), respectiv N(-2,2). Să se arate că dreptele AN, BM şi perpendiculara din O pe AB sunt concurente.
8. Paralelogramul ABCD are vârfurile A şi B de coordonate A(-3,-1) şi B(2,11/4). Se ştie că punctul Q(3,1/2) este intersecţia diagonalelor paralelogramului ABCD. Să se determine coordonatele vârfurilor C şi D şi ecuaţia laturii BC.