Panta unei drepte, formula de calcul a pantei unei drepte, cand se cunosc coordonatele punctelor care o determina. Exemple rezolvate
Panta unei drepte .Definiţia 1
Într-un reper cartezian xOy axa Ox şi toate dreptele paralele cu ea se numesc drepte orizontale. Axa Oy şi toate dreptele paralele cu ea se numesc drepte verticale. Dreptele care nu sunt verticale se Pentru ca online e mai simplu! Pregatire BAC cu banii inapoi in caz de esec.numesc drepte oblice.
Definiţia 2
Fie d o dreaptă oblică şi t unghiul facut de dreapta cu axa absciselor (orizontala). Numărul real tg (x) se numeşte panta dreptei d sau coeficientul unghiular al dreptei d şi se notează cu m .
Teorema 1
Fie d o dreaptă oblică pe care fixăm două puncte distincte A (x1;y
1) si B(x2;y2). Panta m a dreptei d este dată de formula
m = (y2-y1)/(x2-x1)
Aceasta formula determina panta unei drepte cand se cunosc coordonatele a
doua puncte ale dreptei in cauza.
Panta unei drepte se poate determina si din ecuatia explicita data pentru o dreapta, astfel; daca ax + by + c = 0, este ecuatia dreptei, atunci panta sa este
m= -a/b,
unde a si b sunt coeficientii din ecuatia dreptei
Teorema stabileste fara echivoc doua pozitii importante pe care le pooate lua doua drepte, atunci
cand se cunosc pantele lor.
Exemplu
Să se determine natura patrulaterului (daca este paralelogram, patrat, romb, sau alta figura particulara) de vârfuri:
A(-5,4), B(3,5), C(7,-2), D(-1,-3).
Teorema 2
Dreptele d1 şi d2 , de pante m1 respectiv m2, sunt:
paralele dacă şi numai dacă m1=m2 ;
perpendiculare dacă şi numai dacă m1×m2 = - 1.
Rezolvare
Vom determina pantele laturilor din baza formulei:
Rezulta ABCD este un paralelogram. Observăm că mAB ×mBC = -1 AB şi BC nu sunt perpendiculare deci ABCD nu este dreptunghi. Verificăm dacă nu este cumva romb. Pentru aceasta este suficient să calculăm lungimile a două laturi consecutive. Folosind formula distanţei găsim: AB = BC =de unde rezultă că ABCD este romb. Figura nu este patrat deoarece nu este dreptunghi.
Exerciţii propuse
A. (incepatori)
1. Se dau dreptele de ecuaţii:
AB: 5x + 2y - 11=0 ; AC: x – y + 2=0 ; BC: 2x + 5y + 4=0 . Să se gaseasca:
Coordonatele vârfurilor triunghiului ABC;
Aria triunghiului ABC;
Distanţa de la originea sistemului de axe xOy la dreapta AC;
Ecuaţia medianei duse din C pe AB;
Ecuaţia înălţimii duse din A pe BC;
Coordonatele punctului D astfel încât ACBD să fie paralelogram;
Lungimea laturii AB;
Coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC;
Coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC.
2. Se dă triunghiul de vârfuri A(-1,3) , B(2,-1) , C(3,6).
Să se determine:
ecuaţia dreptei AC;
ecuaţia paralelei prin B la AC;
ecuaţia mediatoarei segmentului [BC];
ecuaţia medianei din C;
ecuaţia înălţimii din C.
B. (mediu)
3. Ştiind că A(1,2) este piciorul perpendicularei duse din origine pe dreapta d , să se scrie ecuaţia dreptei d.
4. Să se găsească proiecţia punctului B(-2,1) pe dreapta d : 2x + y + 1 = 0.
5. Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin punctul C(1,3) şi este echidistantă de punctele A(-1,0),B(1,-1) .
6. Să se determine coordonatele simetricelor punctului A(-1,2) faţă de dreapta d : x + y + 1 = 0 şi apoi faţă de punctul
B(-1,-4).
C. (dificile)
7. Se consideră sistemul cartezian de coordonate xOy şi punctele in plan A(3,0), B(0,2), M(3, -3), respectiv N(-2,2). Să se arate că dreptele AN, BM şi perpendiculara din O pe AB sunt concurente.
8. Paralelogramul ABCD are vârfurile A şi B de coordonate A(-3,-1) şi B(2,11/4). Se ştie că punctul Q(3,1/2) este intersecţia diagonalelor paralelogramului ABCD. Să se determine coordonatele vârfurilor C şi D şi ecuaţia laturii BC.