Siruri. Proprietati: monotonia ( crescator | descrescator ) şi mărginirea
Definiția și teorema șirului monoton
Definiții
Șirul (an) este crescător (/descrescător/monoton/strict crescător/strict descrescător/strict monoton)
dacă funcția care-l definește este crescătoare (/descrescătoare/monotonă/strict crescătoare/
strict descrescătoare/strict monotonă) .
Teoremă
Un șir (an) este crescător dacă ∀ n , an ≤ an+1, deci dacă an - an+1≤0.
Un șir (an) este descrescător dacă ∀ n , an ≥ an+1, , deci dacă an - an+1≥0.
Un și este monoton dacă este crescător sau descrescător.
Un șir (an) este strict crescător dacă ∀ n , an < an+1, deci dacă an - an+1<0.
Un șir (an) este strict descrescător dacă ∀ n , an > an+1, , deci dacă an - an+1>0.
Un șir (an) este strict monoton dacă este strict crescător sau strict descrescător.
Teorema monotoniei unui șir (definiție echivalentă a monotoniei)
Dacă șirul (an) are toți termenii pozitivi , atunci :
șirul (an) este crescător ⇔
≤ 1, ∀ n Un șir (an) este descrescător ⇔
≥ 1, ∀ n
Exemplu:
Studiați monotonia șirului sumei armonice
, n ≥1 Demonstraţie
Explicația denumirii șirului
Denumirea de șir al sumei armonică provine din faptul că fiecare termen al sumei
, n ≥1 ,
în afara extremilor , este medie armonică a vecinilor lui.
