Polinoame. Inelul polinoamelor cu coeficienti intregi reali sau complexi. Exercitii rezolvate.

• X este notata  necunoscuta polinomului,

• ai  se numesc coeficientii polinomului si sunt numere complexe, reali sau intregicuplurile aiXi se numesc monoame, cu i=1..n,

• anXn este monomul dominant, spunem că polinomul are gradul n.

• a0 se numeste termenul liber al polinomului

 Prin C[X] sau R[X] vom nota si  înţelege mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi sau reali, dupa caz..

 Proprietati:

1. Un polinom este nul daca toti coeficientii monoamelor polinomului sunt nuli (egali cu 0) EX: f= aX4+(4-b)X2-5cX+3-6d este nul daca coeficientii sunt nuli, adica a=0, b=4, c=0 si d=1/2

2. Doua polinoame sunt egale daca au coeficientii monoamelor de acelasi grad egali.

Exemple

 Polinomul  x3 + ix - 5 este un polinom cu coeficienti din C, C[X] şi are gradul 3.

1. Să se determine în functie cu parametrul complex m gradul polinomului

.f = mX4+(4-m)X2+5

Aplicatii propuse spre rezolvare:

 A.(incepatori)

• 1.  Calculati f + g dacă f= X4+4X2+2  şi g= X4 -3X2+ 7.

1. Se considera  polinomul f= X4 - 4X2+1  să se calculeze f(1) , f( -2) , f(1+i), f(1-i).

2. Să se gaseasca câtul şi restul împărţirii polinomului f la g in cazurile: 

   1. X4+4X2+ 5 şi   X2+2;

      1. 2X4+4X2+3x-3 şi  4X2+x-6;

  5. Utilizand schema lui Horner ă se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la g in cazurile:

• 1.  2X4+4X2+x şi  g = X – 1 ;

  2. X4+X2+x-3  şi g = X –2 ;

  3. X4+4X2+3x-3 şi g = X + 1 .

  6. Determinati polinoamele de gradul al doilea, astfel încât sa indeplineasca conditiile: f(1)= -2; f(2) = -1; f(3) = 4.