Formal, mulțimea numerelor complexe reprezintă mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere reale,
, înzestrată cu
operațiile de adunare și înmulțire definite mai jos:
,
.
Mulțimea numerelor complexe formează un corp, corpul numerelor complexe, notat cu
.
Elementul neutru al operației de adunare este iar elementul neutru al operației de înmulțire este .
Deoarece și , mulțimea numerelor reale, , poate fi privită ca submulțime a lui
, identificînd numărul real cu .
Numărul complex
are proprietatea , adică identificat cu numărul real
.
Niciun număr real nu are această proprietate; de aceea el a fost denumit "numărul
" („i” de la „imaginar”).
Numerele complexe de forma se numesc „numere imaginare”.
Suma a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d) = (a+c) + i(b+d).
Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w = (c,d) = c + di este zw = (ac-bd,bc+ad) = (ac-bd) + i(bc+ad).
Exemple: pentru z = (2,3) = 2 + 3i și w = (1,4) = 1 + 4i avem suma z + w = (3,7) = 3 + 7i și produsul zw = (-10,11) = -10 + 11i.