Puncte de extrem local ale unei funcții. Puncte critice. determinarea punctelor critice ai ale punctelor de extrme.
Puncte de extrem local ale unei funcții
Observatie: Pentru determinarea punctelor de extrem se urmeaza pasii:
Pas1: Se calculeaza derivata functiei si se rezolva ecuatia atasata acesteia: f'(x)=0, astfel se gassc punctele critice.
Pas2: Se face tabelul de variatie ( semn) a derivatei si punctele unde isi schimba semnul (derivata) sunt punctele de extrem local.
Definiția1
Fie și
Spunem că este punct de maxim relativ sau maxim local pentru funcția f dacă există o vecinătate V a lui
astfel încât pentru orice (în
) funcția f are cea mai mare valoare sau amplitudine).
Spunem că este punct de minim relativ sau minim local pentru funcția f dacă există o vecinătate V a lui
astfel încât pentru orice (în
) funcția f are cea mai mică valoare locala).
Spunem că este punct de extrem relativ sau extrem local dacă este punct de maxim sau minim relativ.
Aceste puncte sunt de maxim sau de minim intr-o vecinatate a lor, insa global pot exista alte punte care sa fie de maxim sau de minm.
Exemplu
În figura alaturata, punctele a și c sunt puncte de maxim local iar punctele b și d sunt puncte de minim local pentru functia considerata.
Punctele extremele definite mai sus se numesc extreme relative sau locale spre a le diferentia de extremele absolute sau globale.
Definiție
Se spune că este punct de maxim absolut sau maxim global pentru funcția
dacă pentru orice Acest punct se mai numeste de extrem global.
În acest caz, valoarea functiei in x0 reprezintă valoare maximă a funcției și se notează:
Spunem că punctul este punct de minim absolut sau minim global pentru funcția
dacă pentru orice
În acest caz, reprezintă valoare minimă a funcției și se notează:
În continuare, pentru simplicitate, când ne vom referi la punctele de maxim sau de minim relativ, vom omite cuvântulrelativ.
Dacă este un punct de minim (sau de maxim ) a funcției, punctul de abscisă
este numit punct de minim (maxim) al graficului.