Embedded Files
Important la legile de compozitie, este sa retinem proprietatile (acele expresii analitice) pe care le vom utiliza in rezolvarea diverselor tipuri de aplicatii.
Definitia:
Fie M o multime nevida.
Se numeste lege de compozitie interna pe M (sau operatie algebrica) o aplicatie "*" a produsului cartezian MxM cu valori în M.
Legea de compozitie interna "*" atribuieoricarei perechi (x, y) din MxM un element z = x * y din M, numit compusul lui x cu y.
Exemple
1° In multimea numerelor complexe C si pe orice submultime a sa se defineste legea de compozitie interna "+" : C x C -> C,
numita suma a doua numere complexe.
2° În clasa P(X) a partilor unei multimi X operatia de intersectie a doua multimi este o lege de compozitie interna.
Proprietatile legilor de compozitie
Asociativitatea
Elementul neutru
astfel încât
Daca legea de compozitie este de tip aditiv (adunarea), elementul neutru e se numeste elementul nul si va fi notat cu 0 (zero), iar în cazul unei legi de tip multiplicativ (inmultirea) e este numit element unitate si va fi notat cu 1 (unu).
Elementul simetric:
pentru x din multimea X,
astfel încât
Daca legea de compozitie este de tip aditiv (adunarea) ele
mentul simetric x' va fi numit opusul lui x si va fi notat cu -x , iar daca legea de compozitie este de tip multiplicativ (inmultirea) atunci x' va fi numit inversul lui x si va fi notat cu x-1 .
Teorema: Daca o lege de compozitie interna pe X este asociativa si admite element neutru, atunci orice element are cel mult un simetric. În adevar, daca x ar admite doua elemente simetrice x' si x''atunci
Comutativitatea:
avem
Distributivitatea:
Se considera pe multimea X definite doua legi de compozitie notate cu "*" si respectiv "
" proprietatea
numita distributivitatea legii "*" fata de legea "
".
Definitia:.
O multime X nevida împreuna cu o lege de compozitie interna asociativa se numeste monoid sau semigrup.
Daca în plus operatia algebrica "*" are element neutru (este comutativa) se spune ca (X, *) este un monoid cu unitate sau unitar (monoid comutativ sau abelian).
Definitia:
O multime G ¹ Æ împreuna cu o lege de compozitie interna " *" asociativa cu element neutru si care are
proprietatea ca orice element din G este inversabil se numeste grup.
În plus daca legea de compozitie interna este comutativa atunci ( G, *) se numeste grup abelian.
Vom spune ca operatia "*" definita pe multimea G cu proprietatile enuntate determina pe G o structura de grup, iar proprietatile Ia, Ib , Ic (Ic satisfacuta pentru " x Î X) vor fi numite axiomele structurii de grup. Daca operatia "*" este adunarea (înmultirea) atunci grupul se numeste grup aditiv (multiplicativ).
Într-un grup (G, *) ecuatiile: si au solutii unice.
Exemple
Exemple
1° Multimea numerelor întregi Z împreuna cu operatia de adunare este un grup abelian.
Însa multimea Z înzestrata cu operatia de înmultire nu este grup, singurele elemente inversabile sunt 1 si -1.
2° Într-un semigrup cu unitate, submultimea elementelor inversabile formeaza împreuna cu operatia indusa o structura de grup.
Definitie.
Submultimea H Ì G a grupului (G, *) se numeste subgrup al grupului G daca
legea de compozitie interna induce pe H o structura de grup, adica (H, *)
este grup.
1) H este un subgrup al lui G
Propozitie.
Daca (G, *) este un grup si H Ì G o submultime, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
2)
Într-un grup abelian orice subgrup este un divizor normal.
Definitie.
Definitie.
Un subgrup H al grupului (G, °) se numeste divizor normal (subgrup normal) daca pentru si h ÎH.
Doua elemente x, y Î H se zic echivalente la dreapta modulo H, x ~ y, daca .
Propozitie.
Daca H este un divizor normal al grupului (G, °) atunci clasele de echivalenta la dreapta coincid cu clasele de echivalenta la stânga si în plus multimea G/H poate fi înzestrata cu o structura de grup numitgrupul factor.
Grupul
Definitia:
Fie grupurile (G, *) si (G', °). O aplicatie se numeste un morfism (homomorfism sau intalnit si omomorfism) de grupuri daca este satisfacuta relatia:
(1.2)
Daca aplicatia f este si bijectiva (injectiva, surjectiva) atunci morfismul f va fi numit izomorfism (monomorfism, epimorfism).
daca G = G', morfismul (izomorfismul) de grupuri este numit endomorfism (automorfism).
Inelul
Definitie.
Fie A o multime nevida, împreuna cu doua legi de compozitie interne, dintre care una se noteaza de obicei aditiv "+", iar cealalta multiplicativ " ×", se numeste inel daca sunt indeplinite conditiile:
1° (A, +) este grup abelian
2° (A, ×) este semigrup
3° operatia de înmultire este distributiva fata de adunare:
.
Daca (A, +, °) este un inel pentru care înmultirea este comutativa atunci (A, +, °) va fi numit inel comutativ.
Daca (A, +, °) este un inel în care înmultirea admite element neutru, atunci (A, +, °) se va numi inel cu unitate sau inel unitar.
Corpul
Definitie.
Un inel unitar (K, +, °) în care orice element nenul este inversabil se numeste corp.
Un corp în care înmultirea este comutativa va fi numit corp comutativ sau denumit câmp.
Page updated
Google Sites
Report abuse