Proprietati fundamentale ale functiilor
Definitie. Spunem ca functia ƒ: A→ B este surjectiva daca pentru orice y є B, exista x є A astfel incat ƒ(x) = y.
Exemplu:
f:R->R, f(x)= 3x-8
se pleaca de la f(x)=y => 3x-8=y =>3x= y+8 => x=(y+8)/3.
Deoarece expresia obtinuta pentru x, mai sus, exista oricare ar fi y, functia este surjectiva.
Observatie: In general functia de gradul I este surjectiva.
Functia ƒ este surjectiva daca pentru orice element din codomeniu poate fi obtinut aplicand legea de corespondenta unui element din domeniul de definitie. Intuitiv, faptul ca o functie este surjectiva inseamna ca o paralela la 0x, dusa prin orice y din codomeniu, intalneste graficul functiei cel putin o data.
Observatie importanta. Functia ƒ: A→ Im (ƒ) este surjectiva, oricare ar fi functia.
Definitie. Spunem ca functia ƒ: A→B este injectiva daca pentru orice u si v din A, u ≠ v, rezulta ƒ(u) ≠ ƒ(v).
SAU: O functie este injectiva daca din ƒ(u) = ƒ(v) rezulta u = v.
Exemplu. Functia ƒ: R→R, ƒ(x) = ax + b, a ≠ 0, a, b є R, este injectiva deoarece din ƒ(u) = ƒ(v), u, v є R obtinem au + b = av + b => au = av (a ≠0) => u = v.
Contra exemplu. ƒ: R→ [0, + ∞), ƒ(x) = x2 nu este injectiva deoarece din ƒ(u) = ƒ(v), u, v є R rezulta u2 = v2, adica u2 – v2 = 0 => (u – v)(u+v) = 0 => u = v sau u = -v, deci functie neinjectiva.
Definitie bijectivitate. O functie care este atat injectiva cat si surjectiva se numeste bijectiva. Intuitiv, o functie bijectiva este o functie pentru care graficul ei are proprietatea ca o paralela dusa la 0x, prin orice punct din codomeniu intalneste graficul functiei exact o data.Graficul unei functii elementare
Teorema: O functie este inversabila (adica admite inversa) daca si numai daca este bijectiva.
f(f-1(x))=x, oricare ar fi x din domeniul de definitie al functiei.