Divizibilitate in Z. Multimea divizorilor unui numar intreg.

Divizorii unui numãr întreg

Definiþie. Fie a si b douã numere întregi. Spunem cã : a este un divizor al numãrului b dacã existã un n

umãr întreg c asa încât a=b× c. În aceste condiþii b se numeste multiplu al numãrului aPentru a preciza faptul cã a este un divizor al lui b folosim notaþia : a| b.Observatii.Numãrul 0 este divizibil cu oice numãr întreg, pentru cã 0=0× x oricare ar fi x este din Z.
Numãrul 0 este divizor al numãrului 0 si nu este divizor pentru nici un alt numãr.
Numãr întreg 1 (sau +1) are 2 divizori: +1 si -1. Aceeasi proprietate are si -1.

Orice numãr întreg n, diferit de 1 si -1, are cel puþin 4 divizori : 1, -1, n si -n. Acesti divizori se numesc divizorii improprii ai numãrului n. Un numãr întreg care are numai divizori improprii se numeste numãr prim. 1 si -1 nu sunt numere prime.Un numãr întreg este prim dacã ºi numai dacã modulul lui este un numãr natural prim.Aspectele legate de relaþia de divizibilitate în Z sunt legate de relaþia omoloagã din N.Exemple. Dacã vom nota cu Dn multimea divizorilor întregi ale numãrului n, avem:D0=Z,0 apartine multimii divizorilor lui 0,D0 dar dacã n este diferit de 0, atunci 0 nu apartine lui Dndacã n este N, atunci Dn=D-nD6={-6.-3,-2,-1,1,2,3,6}Din x|4 obtinem ca x este din {-4,-2,-1,1,2,4}X+5|3 => X+5 din {-3,-1,1,3} => X apartine {-8,-6,-4,-2}7/(2x-3) din Z => 2x-3|7 => 2x-3Î {-7,-1,1,7} => 2xÎ {-4,2,4,10} => x apartine multimii {-2,1,2,5}

(x+2)/(x-3)Î Z => x-3 | x+2 .Cum x-3|x-3, obtinem ca x-3 | (x+2)-(x-3) , deci x-3 |5 => x-3 este din {-5,-1,1,5}