Cazul general al unui sistem de m ecuatii cu n necunoscute.
Acest caz rezolva, atat sisteme de ecuatii cu numarul de ecuatii diferit de cel al necunoscutelor, cat si acelora in care determinantul matricii coeficinentilor este egal cu 0(zero), deci acolo unde nu se pot folosi formulele lui Cramer.
Teorema Kronecker-Capelli: Un sistem de ecuatii este compatibil daca si numai daca rangA =rangA'.
Teorema Rouche: Un sistem de ecuatii este compatibil daca si numai daca toti determinantii caracteristici sunt nuli.
Determinantii (sau minorii) caracteristici se obtin prin bordarea unui minor principal cu coloana corespunzatoare termenilor liberi si cate o linie ramasa.
Minorul principal este ales din matricea sistemului si are proprietatile de a avea cel mai mare ordin si de a fi nenul.
Astfel se rescrie sistemul format doar din ecuatiile principale (acelea din care provine minorul principal) encunoscutele se numesc principale, iar celelalte secundare, la randul lor renotate si considerate constante, se vor trece in partea dreapta a ecuatiilor.
Se rezolva sistemul principal cu formulele lui Cramer sau alte metode invatate (reducerii substitutiei) in functie de termenii liberi si necunoscutele secundare. Numarul necunescutelor secuncare arata gradul de nedeterminare.
Sisteme de ecuatii liniare si omogene. Aceste este cazul sistemelor cu proprietatea ca termrnii liberi ( bi=0, i=1...m.)
Astfel de sisteme admit cel putin solutia banala, adica x1=0, x2=0,...,xn=0.Daca mai mult determinantul sistemului det(A)<>0 sau rang(A)= r= n, atunci solutia banala este unica solutie. Altfel se procedeaza ca la rezolvarea oricarui alt sistem.
Se scrie matricea sistemului A si se observa ca aceasta este de ordinul a34, deci nu este patratica si nu se poate aplica regula lui Cramer. Cum nu se poate calcula determinantul sistemului se va ca cauta un minor principal dpp=6 deci nenul.
Se observa ca rang(A)= rang(A'), unde A' este matricea extinsa a sistemului, deci sistemul este compatibil si se poate rezolva.(Rangurile celor doua matrici sunt egale deoarece rang(A)=3 iar matricea extinsa are minori tot de ordinul cel mult 3)
Astfel x, y, z vor fi necunoscute principale iar t necunoscuta secundara notata t=a. Se va rescrie sistemul trecand a in partea dreapta si considerat ca o constanta, acest sistem se rezolva cu formulele lui Cramer vezi exemplul 1.
Se vor calcula dx=10, dy=19-9a, dz=11-3a. Solutia este: x=5/3, y=(19-9a)/6, z=(11-3a)/6, t=a sau S={(5/3, (19-9a)/6, (11-3a)/6, a}.
Cum determinantul sistemului este det(A)=0, se va cauta un minor principal.
,
Minorul principal (nenul) atunci x si y sunt necunoscute principale iar z secundara, deci se va nota de exemplu cu a, z=a.Se vor calcula determinantii caracteristici dcar, care se obtin prin bordarea minorului principal cu coloana termenilor liberi si cu o alta linie.
Cum minorul caracteristic este nenul, conform teoremei lui Rouche, sistemul este incompatibil, deci nu avem solutii, sau multimea solutiilor este vida.