Ecuatiile irationale sunt acelea care:
contin necunoscuta sub semnul radical;
Obs: rezolvarea consta in eliminarea radicalilor prin diferite transformari (de cele mai multe ori: ridicari la putere = cu ordinul radicalului, sau inmultire cu expresia conjugata), reducandu-le la ecuatii studiate: de gradul 1 sau 2;
Obs: Importante sunt conditiile de existenta, iar acestea numai pentru radicalii de ordin par : unde f(x)≥0 este o expresie in functie de x;
Ex:
Pas1: C.E.:
Pas2: Prin ridicare la patrat (ordinul radicalului), obtinem:
Pas3: se verifica solutiile potentiale, inlocuind x, de la Pas1
Pas4: Se scrie solutia ecuatiei: S={}
Rezolvati ecuatiile:
Rezolvare. a) Ambii membri ai ecuatiei se ridica la puterea a treia (ordinul radicalului) si se obtine ecuatia echivalenta
5x + 27 = x3 + 9x2 + 27x + 27,
rezulta
x3 + 9x2 + 22x = 0,
de unde dand un factor comun pe x, rezulta
x = 0,
x2 + 9x + 21 = 0.
deoarece ultima ecuatie nu are solutii (D = 92 - 4·21 < 0), rezulta ca x = 0 este unica solutie a ecuatiei date.
b) Se va ridica ambii membri ai ecuatiei la puterea a sasea (cel mai mic multiplu comun al ordinelor radicalilor (2 si 3) din ecuatie) si rezulta ca
x2 = (x - 4)3
echivalent, prin ridicare la putere si trecand in aceeasi parte
x3 - 13x2 + 48x - 64 = 0,
de unde, prin grupare convenabila,
(x3 - 8x2) - (5x2 - 40x) + (8x - 64) = 0,
se obtine
x2(x - 8) - 5x(x - 8) + 8(x - 8) = 0,
sau
(x - 8)(x2 - 5x + 8) = 0.
Astfel se obtine in final
x - 8 = 0,
x2 - 5x + 8 = 0,
cu solutia x = 8. Introducand x = 8 in ecuatia din enunt se obtine egalitatea numerica justa 2=2 si, prin urmare, x = 8 este solutie a ecuatiei date.
c) Se ridica la patrat ambii memri si se obtine ecuatia patrata
x2 - 9x + 25 = 4x2 - 52x + 169,
sau
3x2 - 43x + 144 = 0,
cu solutiile x1 = 9 si x2 = 16/3. Se efectueaza verificarea si ramane x = 9.