POLINOAME CU COEFICIENŢI COMPLECŞI
Operatii cu polinoame
Adunarea: se face sumand coeficientii monoamelor de acelasi grad.
Exemplu:
Calculaţi f + g dacă f= X4+4X2-5X+3 şi g = 3X4+X2-2X-3.
Rezolvare:
f+g = 4X4+5X2-7X, adunarea se face sumand coeficientii monoamelor de acelasi grad si pastrandu-se partea literala.
Inmulţirea: se face inmultind fiecare monom al primului polinom cu fiecare monom al celui de-al doilea polinom, dupa regula: (aXn)(bXm)=(ab)Xn+m
Exemplu:
Calculaţi f × g dacă f = X4+4X2+3 şi g= 5X+3.
Rezolvare:
f × g =( X4+4X2+3) ( 5X+3 )
Inmultirea cu scalari: Se face inmultind scalarul cu fiecare monom al polinomului
Exemplu:
f= X4+4X2-5X+3 Calculati 5f=5(X4+4X2-5X+3)=5X4+20X2-25X+15
Împărţirea polinoamelor.
Exemplu
Se considera polinoamele f = X4+4X2+3 şi g= 5X+3., să se gaseasca câtul şi restul împărţirii lui f la g.
Rezolvare:
Algoritmul de impartire: seamana cu cel de la numere, in discutie intra doar monoamele dominante de la deimpartit si impartitor, apoi dupa ce se gaseste un monom al catului se inmulteste cu fiecare monom al impartitorului si se trece sub deimpartit cu semn schimbat.
Teorema împărţirii cu rest (D=IC+R)
Fie două polinoame oarecare cu coeficienţi complecşi f şi g cu g nenul , atunci există două polinoame cu coeficienţi complecşi q şi r astfel încât
f = g× q + r unde grad r < grad g .
aceste polinoamele q şi r sunt unice.
Teorema restului (pentru aplicatii)
Restul împărţirii unui polinom f prin binomul X – a este egal cu valoarea f (a) .
Observaţie
Această teoremă ne ajută să determinam restul împărţirii unui polinom oarecare prin binomul X – a fără a face împărţirea.
Exemplu
Restul împărţirii polinomului f = X4+4X2+3 prin X – 2 este f (2) = 16+16+3= 35
Să se gaseasca parametrul real m ştiind că restul împărţirii polinomului 4X2+ m prin X + 1 este egal cu 5.
Rezolvarea:
Se Pune condiţia f (-1) = 5. Obţinem 4 + m = 5 de unde rezultă m = 1.
Observaţie
Aceasta teorema a restului nu ne spune nimic despre câtul împărţirii lui f prin binomul X – a . Acest lucru se rezolvă prin algoritmul numit “schema lui Horner”. Acesta constă în realizareaunui tabel din care vom “citi” câtul şi restul împărţirii.