Functii continue.

Continuitatea unei funcţii într-un punct .Exemple si exercitii rezolvate ale continuitatii unei functii. Proprietatea lui Darboux - continuitatea.

Cel mai important rezultat al lectiei este:

continuă înşi

adica se calculeaza limitele laterale si valoarea functiei in punctul indicat si daca rezulta aceleasi valori, atunci functia este continua in punct.

Obs: Functiile elementare sun continue pe intevalele lor de definitie, iar adunarea scaderea, inmultirea, impartirea sau compunerea a doua functii continue rezulta tot o functie continua pe domeniile lor de definitie.

Definiţie : Fie o funcţie reală

cu şi un punct din domeniul de definitie,

.O funcţie

se numeşte continuă în punctul

dacă oricare ar fi

vecinătatea

a punctului , există o vecinătate

a punctului astfel încât, din faptul că

să rezulte ca

Altfel spus, analitic:

continuă în astfel încât

Dacă functia

nu este continuă în atunci punctul se numeşte punct de discontinuitate. Acesta poate fi de prima speta, daca limitele laterale sunt diferite dar finite sau de a doua speta daca una dintre limeite este infinita

Observaţii

1) Se poate vorbi de continuitate doar în punctele domeniului de definiţie al funcţiei pe care o analizam.

2) Dacă punctul

este un punct izolat al lui atuncieste continuă în.

3) Dacă

este un punct de acumulare pentru multimea de definitie, adică(cureprezentând mulţimea punctelor de acumulare a mulţimii

), studiul continuităţii funcţieiînrevine la cercetarea existenţei limitei înşi compararea ei cu valoarea funcţiei în. Acest caz este cel mai intalnit.

Pentru a demonstra că o funcţie este continuă într-un punct

arătăm că:

(Se aplica in rezolvarea exercitiilor)

continuă înşiunde

si nu este continuă în

nu există sau există, dar este diferită de.

Exemplu

Să se studieze continuitatea funcţiei f(x)= |x-1| în punctul x = 1.

Modul de Rezolvare:

f (1) = |1 - 1| = 0 .

Cum f (1 – 0) = f (1 + 0) = f (1) rezultă f este continuă în x = 1.

Notatiile f(1-0) si f(1+0) sunt optionale, se pot omite.

Proprietatea valorilor intermediare (a lui Darboux)

Definitia 4

Fie I un interval. Se spune că o functie are proprietatea lui Darboux pe intervalul in speta, I dacă, pentru oricare puncte din acest interval I si oricare ar fi numărul c situat între ele, există macar un punct c astfel încât f(c) apartine intervalului. (Adica functia nu poate sari de la o valoare la alta fara sa treaca prin toate valorile intermediale)

Teorema 5 (a valorilor intermediare)

Orice functie f continuă pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval.

Exemplul 1

Sa se arate că ecuatia x3 - 2= 0 are o rădăcină pe intervalul [1,2].

Rezolvarea:

Se considera f care ia valoarea expresiei ecuatieie din exercitiu o functie continuă (elementara- polinomiala) si, în plus f (1) = - 1 , f (2) = 6 adică f (1)· f (2) < 0 si conform lemei functia are cel putin un zerou ( o radacina) pe intervalul dat respectiv ecuatia are cel putin o solutie pe [1,2].

Observatia1:

Daca se tine cont că între două zerouri ale unei functii continue aceasta păstrează semn constant (acelasi semn), putem da următoarea regulă de determinare a semnului unei functii f.

Exemplul2

Să se rezolve inecuatia pe multimea numerelor reale.

Rezolvarea:

Se studiaza mai întâi semnul functiei . Această functie este continuă pe R (produs de functii continue) si are zerourile –2 si 3. Pentru intervalul se alege punctul x = -3 si avem f (-3) = 6· (8 – 0,125) > 0, care va fi semnul intregului interval. Pentru intervalul (-2, 3) alegem punctul x = 0 si avem f (0) = - 42 < 0. Pentru intervalul alegem punctul de valoare x = 4 si f (4) = - 48 < 0. Se construieste tabelul de semn:

f (x)

- - 2 3 +

+ + + + 0 - - - - - - - - 0 - - - - - - - - -