Fie A (xA;yA) si B(xA,yB) două puncte distincte.
AB: (y- yA)/(yB- yA)=(x- xA)/(xB- xA) pentru yB diferit de yA si xB diferit de xA
Dacă ordonatele punctelor (y) au aceeiasi valoare ( de exemplu a) atunci dreapta este orizontală (paralela cu axa absciselor) şi va avea ecuaţia y=a.
Dacă abscisele punctelor (x) au aceiasi valoare (b) atunci
dreapta este verticală (paralela cu axa ordonatelor) şi va avea ecuaţia x=b.
În celelalte cazuri dreapta
va avea ecuaţia:
d: ax+by+c=0.
Observatie: in cazul acestei ultime formule x si y raman neschimbati, intr-o ecuatie trebuie sa avem cel putin o necunoscuta.
Ecuaţia carteziană generală a unei drepte in plan.
Ecuaţiile dreptelor definite până în acest moment pot fi aduse la forma
ax + by + c = 0
numită ecuaţia carteziană generală a unei drepte.
Observaţie:
Având dată o dreaptă prin ecuaţia de mai sus putem deduce foarte simplu panta acesteia facand - raportul dintre coeficientii lui x si al lui y, astfel: aplicând formula
m=-a/b
Exemplu
Se dă un triunghi de vârfuri A(-5,4), B(3,5), C(-1,-3). Să se determine:
ecuaţia dreptei AB, adica determinata de punctele A si B ;
ecuaţia mediatoarei segmentului [BC] (dreapta perpendiculara pe AB, care trece prin mijlocul acesteia .
Rezolvarea:
Vom folosi ecuaţia (2) , pentru-ca stim două puncte prin care trece dreapta:
AB : de unde rezulta
AB : x – 8y + 37 = 0.
Mediatoarea unui segment este perpendiculara pe segment dusă prin mijlocul segmentului. Pentru a gasi ecuaţia acesteia vom determina mai întâi mijlocul M al segmentului [BC] şi apoi valoarea pantei dreptei BC:
şi din teorema 2 b) aflăm panta mediatoarei m = 1/8 . În acest moment putem aplica formula (1) pentru ecuaţia dreptei de punct şi pantă dată, astfel:
Exerciţii propuseA. (incepatori)1. Se dau dreptele de ecuaţii:AB: 5x + 2y - 11=0 ; AC: x – y + 2=0 ; BC: 2x + 5y + 4=0 . Să se gaseasca:Coordonatele vârfurilor triunghiului ABC;
Aria triunghiului ABC;
Distanţa de la originea sistemului de axe xOy la dreapta AC;
Ecuaţia medianei duse din C pe AB;
Ecuaţia înălţimii duse din A pe BC;
Coordonatele punctului D astfel încât ACBD să fie paralelogram;
Lungimea laturii AB;
Coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC;
Coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC.
2. Se dă triunghiul de vârfuri A(-1,3) , B(2,-1) , C(3,6).Să se determine:
ecuaţia dreptei AC;
ecuaţia paralelei prin B la AC;
ecuaţia mediatoarei segmentului [BC];
ecuaţia medianei din C;
ecuaţia înălţimii din C.
B. (mediu)
3. Ştiind că A
(1,2) este piciorul perpendicularei duse din origine pe dreapta d , să se scrie ecuaţia dreptei d.
4. Să se găsească proiecţia punctului B(-2,1) pe dreapta d : 2x + y + 1 = 0.
5. Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin punctul C(1,3) şi este echidistantă de punctele A(-1,0),B(1,-1) .
6. Să se determine coordonatele simetricelor punctului A(-1,2) faţă de dreapta d : x + y + 1 = 0 şi apoi faţă de punctul
B(-1,-4).
C. (dificile)
7. Se consideră sistemul cartezian de coordonate xOy şi punctele in plan A(3,0), B(0,2), M(3, -3), respectiv N(-2,2). Să se arate că dreptele AN, BM şi perpendiculara din O pe AB sunt concurente.
8. Paralelogramul ABCD are vârfurile A şi B de coordonate A(-3,-1) şi B(2,11/4). Se ştie că punctul Q(3,1/2) este intersecţia diagonalelor paralelogramului ABCD. Să se determine coordonatele vârfurilor C şi D şi ecuaţia laturii BC.