Si pone l'esigenza di studiare il comportamento delle reti elettriche sottoposte a generatori sinusoidali. Questo è dovuto a diverse esigenze:
l'energia elettrica fornita dai gestori è di tipo sinusoidale
il segnale sinusoidale è tra i segnali di prova più significativi: dalla conoscenza della risposta del sistema elettrico alla sollecitazione sinusoidale si possono dedurre caratteristiche generali del sistema.
Se la rete e' lineare si può ricavare la risposta a qualunque segnale periodico. Basta scomporre il segnale in serie di Fourier ottenendo una somma di sinusoidi: ad es. se la sollecitazione e' una tensione si ottiene la serie tra diversi generatori sinusoidali; quindi si applica la sovrapposizione degli effetti e si sommano le risposte alle singole sinusoidi. Il metodo ha senso se eseguito con sw.
1. Parametri dei segnali periodici:
periodo:
frequenza:
valore medio:
valore efficace:
2. transitorio e regime
In seguito all'applicazione del segnale di ingresso, inizialmente l'uscita cambia per un certo intervallo di tempo detto transitorio.
Al termine del transitorio i parametri dell'uscita si stabilizzano e si ha la condizione di regime.
Ad es. ci sono circuiti in cui, se l'ingresso è un gradino, la risposta, dopo un intervallo di tempo in cui varia esponenzialmente (transitorio), si stabilizza intorno ad un valore costante (regime).
Allo stesso modo può succedere che con ingresso una sinusoide, durante il transitorio l'uscita è sinusoidale con ampiezza crescente, mentre a regime l'uscita si stabilizza su una sinusoide di ampiezza costante, fase iniziale ben definita e frequenza pari a quella del segnale di ingresso
In questo studio ci occupiamo solo dello studio a regime, successivo al transitorio.
Es. Rappresentare l'andamento temporale del seguente segnale: s(t)=30sin(200t-90°)
Es. Rappresentare l'andamento temporale del segnale s(t)=30cos(200t) in base alla definizione di coseno.
Ricavare la rappresentazione vettoriale ed esprimere il segnale in termini di seno.
4. reti lineari e isofrequenzialità Giovanni Sugamiele
Una rete è lineare se è costituita da generatori indipendenti, generatori dipendenti lineari e da componenti lineari (R, C, L).
In una rete lineare sottoposta all'azione di un generatore sinusoidale, a regime, tutte le tensioni e le correnti sono sinusoidali con la stessa frequenza del generatore: può cambiare solo l'ampiezza e la fase iniziale. Questo semplifica lo studio, dato che si conosce la frequenza del segnale di uscita.
5. metodo simbolico Giovanni Sugamiele
Nelle reti lineari, a causa della isofrequenzialità, tutti i vettori, che rappresentano i vari segnali sinusoidali, ruotano sincroni tra loro, rimanendo nella stessa posizione relativa; di conseguenza basta considerarli fermi, effettuando lo studio in un solo istante.
Da questa osservazione nasce il metodo simbolico che sostituisce alla sinusoide un vettore fermo.
Il metodo fu introdotto da Hermann von Helmholtz e John William Strutt Rayleig e successivamente sviluppato dal matematico Steinmetz nel 1893 che introdusse il simbolo j per indicare l'unita' immaginaria.
I vettori si rappresentano con i numeri complessi e quindi lo studio a regime sinusoidale utilizza i numeri complessi; ad es. 2+j4.
Ma anche 1 è un numero complesso: ha parte immaginaria nulla; ovviamente j3 è un numero complesso con parte reale nulla.
5. rappresentazione vettoriale polare; prodotto e divisione tra vettori; sfasamento tra vettori.
6. passaggio dalla rappresentazione polare a quella temporale
Il modulo e la fase del vettore coincidono rispettivamente con il valore massimo e la fase iniziale della sinusoide.
Es. Ricavare i(t) con v(t)= 3sin(1000t+30), I=V/(Z1+Z2), Z1=2+j1, Z2=j5
Es. Sommare nel dominio del tempo le due sinusoidi v1(t)= 2sin(1000t+30) e v2(t)= 4sin(1000t-90)
Es. Sommare vettorialmente le due sinusoidi v1(t)= 2sin(1000t+90) e v2(t)= 2sin(1000t-90). Quindi rappresentare il segnale risultante nel dominio del tempo. Confrontare con l'esercizio precedente.
Es.Il prodotto tra un vettore e un numero reale, nel dominio del tempo a quale elaborazione corrisponde? Quali parametri della sinusoide sono alterati?
7. Numeri complessi; rappresentazione vettoriale cartesiana; moltiplicazione di un vettore per l'unita' immaginaria; somma e sottrazione.
Conviene applicare i numeri complessi agli operatori strettamente indispensabili (somma, sottrazione, prodotto e divisione) di cui si è definita la funzionalità; evitare ad es. la radice quadrata.
8. conversione da polare in cartesiana e viceversa
Es. convertire i seguenti numeri da una rappresentazione all'altra.
Es. Definire il modulo di un numero reale e il modulo di un numero complesso. Comprendere come la prima definizione sia un caso particolare della seconda.
Es. Verificare che la definizione degli operatori somma, sottrazione, prodotto e divisione nel campo dei numeri complessi sia applicabile ai numeri reali.
8. impedenza; R, C, L; fase dell'impedenza Alessio Nicosia
L'impedenza Z è il rapporto tra i vettori V e I. Quindi Z è un vettore che ha:
come modulo il rapporto tra i moduli di V e I
come fase la differenza tra le fasi di V e I.
Il modulo dell'impedenza si misura in Ohm.
La fase dell'impedenza è lo sfasamento tra i vettori V e I:
fase(Z)=fase(V)-fase(I); fase(V)=fase(I)+fase(Z)
La parte immaginaria dell'impedenza si chiama reattanza, XC=1/wC nel caso capacitivo ed XL=wL nel caso induttivo.
Per la reattanza capacitiva la letteratura scientifica segue entrambe le possibilità di assegnare il segno negativo alla reattanza oppure all'impedenza: https://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_reactance.
9. comportamento al variare della frequenza dei componenti lineari
Si consideri soltanto il modulo dell'impedenza.
Poichè Z=0 significa cc, mentre Z=inf significa ca si comprende che in funzione della frequenza i segnali possono essere completamente bloccati o fatti passare.
Re: Numeri complessi: Cosa sono? da PietroBaima » 29 nov 2014, 13:50
Naturalmente tutti i concetti astratti incontrano, nella nostra mente, la necessità di una risposta concreta, ma per lo più queste domande sono errate .
Voglio dire che ci si potrebbe chiedere "a cosa serve una ellisse?". Un meccanico potrebbe rispondere che serve per fare un eccentrico per azionare un meccanismo di punteria, Keplero potrebbe rispondere che serve per descrivere il moto dei pianeti, ecc...
In definitiva la domanda "cos'è questo?" in matematica incontra sempre la risposta "è un concetto astratto che può essere applicato dovunque tu ne abbia bisogno". Ciao, Pietro.