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I componenti reattivi, inseriti in circuito dove agiscono segnali sinusoidali, presentano un comportamento variabile in funzione della frequenza.
Di conseguenza segnali sinusoidali di uguale ampiezza ma frequenza diversa, applicati all'ingresso di un circuito, possono trasferirsi in uscita oppure no, in funzione della frequenza (comportamento da filtro).
Si pone il problema di ricavare e rappresentare graficamente il legame ingresso uscita (fdt) a regime sinusoidale al variare della frequenza ( in modo semplice e indipendente dalla complessità dell FdT stessa ) in modo da poter valutare il comportamento del circuito.
20. Definizione di Diagramma di bode di una fdt
Rappresentazione grafica asintotica, sul piano semilogaritmico, in funzione della frequenza, del modulo e della fase della fdt a regime sinusoidale
1. segnale sinusoidale: valore massimo, fase, fase iniziale, velocità angolare, vettore rotante, periodo, frequenza
http://digilander.libero.it/antonino_noto/sinusoide.htm
Si consideri l'espressione s(t)=30sin(200t-90°).
s(t) rappresenta una funzione nel dominio del tempo: la variabile indipendente (dominio) è il tempo, la variabile dipendente è s
Es. Rappresentare l'andamento temporale del seguente segnale: s(t)=30sin(200t-90°)
Es. Rappresentare l'andamento temporale di 3 segnali sinusoidali sfasati di 120°, uno di essi con fase 90°, VM=311V, , f=50Hz
2. reti lineari e isofrequenzialità Giovanni Sugamiele
Una rete è lineare se è costituita da generatori indipendenti, generatori dipendenti lineari e da componenti lineari (R, C, L).
In una rete lineare sottoposta all'azione di un generatore sinusoidale, a regime, tutte le tensioni e le correnti sono sinusoidali con la stessa frequenza del generatore: può cambiare solo l'ampiezza e la fase iniziale. Questo semplifica lo studio dato che si conosce la frequenza del segnale di uscita.
2a. transitorio e regime
In seguito all'applicazione del segnale di ingresso inizialmente l'uscita cambia per un certo intervallo di tempo detto transitorio.
Al termine del transitorio l'uscita si stabilizza, i suoi parametri non cambiano più, e si ha la condizione di regime.
Ad es. ci sono circuiti in cui, se l'ingresso è un gradino, la risposta, dopo un intervallo di tempo in cui varia esponenzialmente (transitorio), si stabilizza intorno ad un valore costante (regime).
Allo stesso modo può succedere che con ingresso una sinusoide, durante il transitorio l'uscita è sinusoidale con ampiezza crescente, mentre a regime l'uscita si stabilizza su una sinusoide di ampiezza costante, fase iniziale ben definita e frequenza pari a quella del segnale di ingresso (ovviamente se la rete è lineare).
In questo studio ci occupiamo solo della fase di regime, successiva al transitorio.
3. metodo simbolico Giovanni Sugamiele
A causa della isofrequenzialità, nelle reti lineari, tutti i vettori, che rappresentano i vari segnali sinusoidali, ruotano sincroni tra loro, rimanendo nella stessa posizione relativa; di conseguenza basta considerarli fermi, effettuando lo studio in un solo istante.
Da questa osservazione nasce il metodo simbolico che sostituisce alla sinusoide un vettore fermo.
I vettori si rappresentano con i numeri complessi e quindi lo studio a regime sinusoidale utilizza i numeri conplessi; ad es. 2+j4.
Ma anche 1 è un numero complesso: ha parte immaginaria nulla.
Cosi' anche j3 è un numero complesso con parte reale nulla.
4. rappresentazione vettoriale cartesiana; operatore j; somma e sottrazione; conversione in polare
5. rappresentazione vettoriale polare; prodotto e divisione; sfasamento tra vettori; conversione in cartesiana
Es. convertire i seguenti numeri da una rappresentazione all'altra.
6. passaggio dalla rappresentazione polare a quella temporale
Il modulo e la fase del vettore coincidono rispettivamente con il valore massimo e la fase iniziale della sinusoide.
Es. Ricavare i(t) con v(t)= 3sin(1000t+30), I=V/(Z1+Z2), Z1=2+j1, Z2=j5
10. fdt a regime sinusoidale; legame tra modulo e fase della fdt e risposta temporale
La fdt a regime sinusoidale si può ottenere a partire da quella nel dominio di s, con s=jω. (semplice da intuire ma non da dimostrare).
Si ottiene ancora una espressione nel dominio dei numeri complessi, vettoriale, in genere espressa in forma polare.
Risulta V0(jω)= F(jω)*Vi(jω)
Si sottolinea che V0 è una espressione vettoriale e può essere scomposta in :
|V0|= |F(jω)|*|Vi|
∠V0=∠F(jω)+∠Vi
La corrispondente rappresentazione nel dominio del tempo vo(t) costituisce un insieme di valori reali:
vo(t) = |V0| * sen( ω * t + ∠V0 )
Es. Ricavare vi(t) con vo(t)= 3sin(1000t+30), |F(j1000)| =2, ∠F(j1000) = 30°
7. impedenza; R, C, L; fase dell'impedenza Alessio Nicosia
L'impedenza Z è il rapporto tra i vettori V e I. Quindi Z è un vettore che ha come modulo il rapporto tra i moduli di V e I e come fase la differenza tra le fasi di V e I.
E' scontato che il modulo dell'impedenza si misura in Ohm.
La fase dell'impedenza è lo sfasamento tra i vettori V e I:
fase(Z)=fase(V)-fase(I); fase(V)=fase(I)+fase(Z)
8. comportamento al variare della frequenza dei componenti lineari
Si consideri soltanto il modulo dell'impedenza.
Poichè Z=0 significa cc, mentre Z=inf significa ca si comprende che in funzione della frequenza i segnali possono essere completamente bloccati o fatti passare.
Ricavare l'uscita a frequenza nulla e a frequenza infinita
9. funzione di trasferimento (fdt) e scomposizione dei polinomi in fattori del 1° e 2° ordine
Le fdt delle reti lineari sono rapporti di polinomi a coefficienti reali. Questi polinomi si possono scomporre nel prodotto di polinomi più semplici.
Teorema – Nel campo complesso ogni polinomio di grado n a coefficienti reali, si può rappresentare, in maniera unica, come prodotto di n polinomi di primo grado:
Pn(s) = K (s − s1) (s − s2). . .(s − sn)
dove (s1, s2, . . . , sn) sono le radici (reali e/o complesse) del polinomio.
Teorema – Se un’equazione algebrica a coefficienti reali ammette una radice complessa allora anche la sua coniugata è una radice e con la stessa molteplicità.
Moltiplicando i due polinomi con radici complesse e coniugate si ottiene un termine di 2°grado a coefficienti reali.
Si conclude affermando che le fdt delle reti lineari si possono scomporre in forma fattorizzata (prodotto di termini ) con una costante K e polinomi di 1° e/o 2° grado.
Esercizi. Scomporre in prodotto di termini elementari.
1) G(s) = 40 s + 40 / 2 s^2 + 5 s + 2
2) G(s) = 160 s^2 + 280 s + 120 / 10 s^3 + 31 s^2 + 25 s + 6
3) G(s) = 2 s^2 + 6 s + 4 / s^3 + 5 s^2 + 8 s + 4
11. modulo della fdt e 'passaggio' del segnale dall'ingresso verso l'uscita.
La relazione |V0|= |F(jω)|*|Vi| permette di calcolare l'ampiezza del segnale di uscita. Consideriamo i seguenti casi:
|F(jω)| = 0. ( in dB valori molto negativi) Risulta |V0| = 0. Quindi l'ampiezza del segnale di uscita è nulla. Si dice che il segnale non passa
|F(jω)| < 1. ( in dB<0) Risulta |V0| < |Vi|. Il segnale di ingresso passa in uscita, ma è attenuato in ampiezza
|F(jω)| = 1. ( in dB=0) Risulta |V0| = |Vi|. Il segnale di ingresso è passa in uscita con la stessa ampiezza
|F(jω)| > 1. ( in dB>0) Risulta |V0| > Vi|. Il segnale di ingresso passa in uscita ed è amplificato.
Riassumendo un segnale di ingresso passa o non passa in uscita in funzione di |F(jω)|
12. Comportamento da filtro
Un filtro è un circuito che si comporta diversamente al variare della frequenza del segnale di ingresso; si può dire che il filtro ha caratteristiche discriminatorie rispetto alla frequenza: un segnale sinusoidale applicato in ingresso può passare in uscita o no in funzione della sua frequenza.
Quando si studia un circuito come filtro si intende che l'ingresso è sinusoidale o somma di segnali sinusoidali e interessa il comportamento a regime.
Si definisce banda un intervallo di frequenze
Dal punto precedente si comprende che il comportamento di un circuito come filtro dipende dall'andamento del modulo della fdt..
Poichè |F(jω)| varia al variare della frequenza si possono avere bande in cui il segnale passa (banda passante) ed altre in cui non passa (banda esclusa).
Se la banda passante è quella inferiore si parla di filtro passabasso.
Se la banda passante è quella superiore si parla di filtro passaalto.
Se la banda passante è compresa tra due bande escluse si ha il passabanda, viceversa l'escludibanda.
Un filtro ideale in banda esclusa si comporta come nel caso 1.
Un filtro ideale in banda passante si comporta come nel caso 3 se è passivo (attenuatore), 4 se è attivo (amplificatore).
I filtri ideali non esistono perchè il |F(jω)| varia con continuità e con pendenze (selettività del filtro) limitate.
Le frequenze che separano le bande si chiamano frequenze di taglio.
Nel caso di filtro ideale la determinazione della frequenza di taglio è immediata.
Nel caso di filtro reale per convenzione si stabilisce che la frequenza di taglio è quel valore particolare di frequenza in cui
|F(jωT)|= 0,707* |F(jω)|MAX quindi il modulo è attenuato del fattore 0,707
oppure
|F(jωT)|dB= |F(jω)|dBMAX -3dB quindi il modulo si riduce di 3dB rispetto al valore massimo in banda passante.
La conoscenza dell'andamento grafico del | F(jω)| al variare della frequenza consente una rapida determinazione delle caratteristiche del circuito come filtro.
13. fdt in forma di Bode Giovanni Sugamiele
La fdt nella forma di Bode è espressa in forma fattorizzata con un termine costante, termini di 1° e 2° ordine ed, eventualmente, zeri o poli nulli.
Per semplicità considereremo solo termini di 1° grado. Questi devono essere nella forma (1+s
), quindi con il coefficiente numerico unitario;
Il coefficiente dei termini in s prende il nome di costante di tempo.
Il coefficiente numerico moltiplicativo complessivo prende il nome di costante di Bode.
Supponendo che la Fdt sia formata da una costante di Bode k, n zeri reali e negativi, m poli reali e negativi ed un polo nullo si ha:
F(s) = k(1+sτz1)(1+sτz2)...(1+sτzn) / s(1+sτp1)(1+sτp2)...(1+sτpm)
14. espressione del modulo in dB Alessio Nicosia
Il modulo della fdt è il prodotto/rapporto di tre tipi di termini elementari (trascurando i termini di secondo ordine): costante, polo/zero nullo, polo/zero reale e negativo.
Poichè graficamente è semplice effettuare la somma-differenza tra termini elementari e non il prodotto-rapporto, conviene esprimere il modulo in decibel e utilizzare la proprietà dei logaritmi che associa al log del prodotto/rapporto tra termini, la somma/differenza dei log dei singoli termini.
Supponendo che la Fdt sia formata da una costante di Bode k, n zeri reali e negativi, m poli reali e negativi ed un polo nullo si ha:
|F(jω)|= |k| * √(1+(ωτz1)2) * ... *√(1+(ωτzn)2) / ( √(1+(ωτp1)2) *... *√(1+(ωτpm)2) * ω )
|F(jω)|dB= 20log|k| + 20log√(1+(ωτz1)2) + ... +20log√(1+(ωτzn)2) - 20log√(1+(ωτp1)2) -... -20log√(1+(ωτpm)2) - 20logω
15. espressione della fase
La fase della fdt è la somma tra le fasi dei termini a numeratore, meno la somma delle fasi dei termini a denominatore. Quindi graficamente è semplice effettuare la somma dei vari contributi.
Supponendo che la Fdt sia formata da una costante di Bode k (positiva 0°, negativa 180°), n zeri reali e negativi, m poli reali e negativi ed un polo nullo si ha:
∠F(jω) = 0°/180°+ arctgωτz1 + ... + arctgωτzn - arctgωτp1 -...- arctgωτpm - 90°
16. scala lineare e logaritmca, decade e ottava, origine scala log, vantaggi scala log, piano semilogaritmico Alessio Nicosia
(per stampare tasto dx sull'immagine http://digilander.libero.it/antonino_noto//semilog.htm )
Nella scala lineare segmenti di uguale lunghezza presentano la differenza tra gli estremi costante.
Nella scala logaritmica segmenti di uguale lunghezza presentano il rapporto tra gli estremi costante.
Se il rapporto tra gli estremi è 10 si parla di decade, se il rapporto è 2 si parla di ottava.
In una scala log, campi di valori piccoli sono esaltati, campi di valori grandi sono attenuati; l'origine della scala non è rappresentabile dal valore zero.
Esercizio. Un quadripolo presenta la fdt a regime sinusoidale di figura.
Calcolare la sinusoide di uscita applicando in ingresso il segnale v(t)= 10sin(2pi10000t+30°)
E' un dispositivo passivo?
17. db, pendenza, funzione lineare su piano semilogaritmico Alessio Nicosia
Una grandezza adimensionale x si può esprimere in dB tramite la relazione 20*logx.
In un piano semilog funzioni del tipo: y(x)=K*logx hanno un andamento rettilineo; k risulta la pendenza della retta.
La pendenza è il rapporto Δy/Δx; sui diagrammi di Bode si usa dB/dec se Δx è una decade o più raramente dB/ott se Δx è un'ottava.
18. somma grafica tra rette ( http://digilander.libero.it/antonino_noto/bodemod.htm ) Alessio Nicosia
La somma tra due rette è una retta che ha come coefficiente angolare la somma tra i coefficienti angolari delle rette.
Si procede valutando un punto e la pendenza:
si sommano le ampiezze delle rette all'estremo sinistro e si trova il punto iniziale;
si sommano algebricamente le pendenze e si traccia la retta risultante passante per il punto precedente.
Per sommare graficamente tratti di rette si calcola l'estremo sinistro come somma delle ampiezze e, dopo,si procede per pendenze ricalcolando la pendenza totale ad ogni variazione.
19. rappresentazione asintotica di k, polo e zero nullo, polo e zero reale e negativo
http://lpsa.swarthmore.edu/Bode/BodeHow.html
20. Definizione di Diagramma di bode di una fdt
Rappresentazione grafica asintotica, sul piano semilogaritmico, in funzione della frequenza, del modulo e della fase della fdt a regime sinusoidale
21. (maturità 2014) Per la seguente fdt G(s) = 40 / ( 1+ s 0.001)2 :
determinare il tipo di filtro
ricavare l'ampiezza delle prime tre armoniche di un'onda quadra +/-5V, f=10KHz (serie di Fourier in www)
ricavare l'ampiezza in uscita delle tre armoniche e il valore percentuale di ogni armonica rispetto alla fondamentale. Valutare se è possibile trascurare alcune armoniche.
rappresentare l'andamento temporale del segnale di ingresso e di uscita.
rifare i calcoli per un'onda quadra di 10Hz
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