Risposte sistemi 1 e 2 ordine

DISTILLATO SISTEMI 1° E 2° ORDINE

Queste risposte riassumono gli argomenti e si rimanda ad uno studio più accurato sul libro di testo.

1. Transitorio e regime

Applicando al sistema un segnale di ampiezza limitata e che si stabilizza ad un valore costante nel tempo, ad es. un impulso o un gradino, la risposta del sistema presenta due condizioni:

• un transitorio, intervallo temporale in cui la risposta si avvicina al valore finale; le caratteristiche che lo determinano si dicono dinamiche.

• una condizione di regime in cui la risposta non varia in maniera significativa; le caratteristiche che la determinano si dicono statiche.

Poichè, in genere, la risposta si avvicina progressivamente al suo valore finale senza, teoricamente, raggiungerlo mai, è necessario stabilire una percentuale del valore finale oltre il quale si ritiene raggiunta la condizione di regime.

Si introducono i seguenti tempi, validi per tutti i sistemi

• Il tempo di salita è il tempo necessario affinché l’uscita passi dal 10% al 90% del suo valore finale.

• Il tempo di assestamento o di risposta è il tempo necessario perché l’uscita raggiunga il 95% del valore finale.

2. Risposta forzata e risposta libera

Si definisce risposta forzata la risposta corrispondente ai generatori applicati con i componenti reattivi scarichi

Si definisce risposta libera la risposta corrispondente alle condizioni iniziali non nulle dei componenti reattivi e con i generatori azzerati.

Le due risposte si possono valutare separatamente in base alla sovrapposizione degli effetti.

Per il calcolo della risposta libera bisogna trasformare il circuito nel dominio di s aggiungendo in serie:

• al condensatore, carico inizialmente con tensione V₀, un generatore di tensione V₀/s, perchè risulta V(s)=I(s)/sC + V₀/s

• all'induttore, carico inizialmente con corrente I₀, un generatore di tensione -LI₀, perchè risulta V(s)=sLI(s) -LI₀

3. Sistemi del 1° ordine.

Un sistema è detto di primo ordine se presenta un solo componente reattivo in grado di immagazzinare energia,

cioè se è presente nel sistema una sola variabile di stato (tensione sul condensatore o corrente sull'induttore).

Rispetto ai sistemi di ordine zero la presenza della variabile di stato introduce un ritardo tra valori corrispondenti d’ingresso e d’uscita.

Trascurando l'eventuale zero la fdt risulta:

F(s)= K/(1+st)

L'antitrasformata di questa fdt, quindi la risposta all'impulso del sistema del 1° ordine, è un semplice esponenziale.

Risulta:

• t_s≈2,2t

• t_a≈3t

Si deduce che le caratteristiche dinamiche del sistema del 1° ordine, quindi i tempi del transitorio, dipendono solo

dalla costante di tempo del sistema, che risulta l'inverso del polo. All'aumentare del polo (in modulo) il sistema è sempre più veloce.

5. Antitrasformata del polo complesso e coniugato ( a parte reale negativa e positiva)

Si consideri una FdT del 2° ordine del tipo in tabella:

con a e b la parte reale ed immaginaria dei due poli;

Il fattore di moltiplicazione b al numeratore non è vincolante per la proprietà della linearità dell TdL.

Ad es.

Ricavando i poli si trova il discriminante negativo; nell'ambito dei numeri complessi, poichè j²=-1, si può estrarre la radice quadrata e risultano due poli complessi e coniugati.

In base alla tabella si ottiene una sinusoide la cui ampiezza è modulata in ampiezza da un esponenziale: se la parte reale del polo è negativa (a<0) l'ampiezza della sinusoide decresce nel tempo e si ha una sinusoide smorzata (altalena reale), altrimenti cresce e si ha una sinusoide di ampiezza sempre crescente con problemi di instabilità.

Si osserva che l'espressione in tabella è diversa dalla forma canonica K/(s²+as+b), come anche dalla forma di cui si parlerà successivamente K/(s²+2ζω_ns+ω_n²)

6. Antitrasformata del polo complesso e coniugato a parte reale nulla

Si ottiene una sinusoide di ampiezza costante.

8. Smorzamento e pulsazione naturale. Sugamiele

Il polinomio di 2° grado a denominatore della fdt, importante per la determinazione dei poli, si esprime rispetto ad altri due parametri, più significativi dei coefficienti numerici a, b, c: lo smorzamento ζ e la pulsazione naturale ω_n

G(s)=K/(s²+2ζω_ns+ω_n²)

• ζ dipende dai componenti dissipativi del sistema (R)

• _ωn rappresenta la pulsazione della risposta sinusoidale nel caso di ζ =0, come vedremo dopo.

• ζ e ωn sono quantità positive

E' interessante ricavare i poli in funzione di ζ e ωn; dall'espressione del discriminante, Δ/4 = ζ²ωn²+ωn²= ωn²( ζ² -1) , si comprende come il valore dei poli dipende dallo smorzamento ζ, da cui i casi seguenti. Si suppone che la parte reale di questi poli sia negativa.

I poli risultano p_1,2= - ωn ( ζ +/- rad ( ζ² -1 ) )

9. Sistemi con smorzamento > 1. Andamento della risposta al gradino e dipendenza dallo smorzamento. Sugamiele, Novara

Se ζ >1 le radici sono reali e distinte (Δ/4>0). Applicando il metodo dei residui, la risposta al gradino, istante per istante, è la somma di due esponenziali e un gradino . La curva avrà un andamento simile alla risposta temporale dei sistemi del primo ordine, tranne per la pendenza iniziale che risulta nulla, mentre nei sistemi del primo ordine dipende da t: già da questo si comprende che il sistema del 2° ordine è più lento ed ha maggiore inerzia. Solo nel caso di poli coincidenti la risposta è paragonabile a quella di un sistema di 1° ordine (con lo stesso polo). All'aumentare dello smorzamento i due poli si allontanano: un polo aumenta e l'altro diminuisce (vedi espressione delle radici); il polo più piccolo, con t più grande, inevitabilmente rallenta la risposta.

10. Polo dominante. Nicosia Daniele

Se il sistema è formato da due poli molto distanti, tali che il loro rapporto è maggiore di 10, la risposta del sistema è formata dalla somma di due esponenziali con t molto diverse. Affinchè il transitorio si esaurisca bisogna attendere l'evoluzione dell'esponenziale più lento, t più grande e polo più piccolo, che risulta quindi dominante sull'altro. In pratica l'evoluzione del sistema dipende solo dal polo più piccolo, con notevole semplificazione (il polo più grande si trascura e il sistema si abbassa di grado). Queste considerazioni sono generalizzabili: sistemi con molti poli, ma con con un solo polo (o un gruppo di poli) più piccolo di tutti gli altri, anche una sola coppia di poli complessi e coniugati con parte reale più piccola di tutti gli altri, risulta dominante e il sistema è semplificabile.

11. Sistemi con smorzamento < 1. Andamento della risposta al gradino e dipendenza dallo smorzamento.

Smorzamento critico. Sovraelongazione. Pulsazione smorzata. Tempo di picco, assestamento, ritardo e salita. Peppescaduto13, Sugamiele

Nei sistemi con smorzamento < 1 i poli della funzione di trasferimento sono complessi e coniugati.

La risposta al gradino è il prodotto di due termini: un esponenziale, che ne determina l'ampiezza, ed una sinusoide di pulsazione ω_d , diversa da ω_n, che ne determina il carattere oscillatorio.

La risposta supera il valore di regime e si presentano due casi :

• 0.7<ζ<1. La risposta, dopo aver superato il valore di regime, raggiunge un picco e si assesta sul valore di regime con un andamento aperiodico.

• ζ<0.7 La risposta, dopo aver superato il valore di regime, si assesta su tale valore con un andamento oscillatorio e quindi una successione di picchi via via decrescenti.

Si definisce:

• smorzamento critico: il valore ζ=0.7 , che distingue i due casi precedenti.

• sovraelongazione: la differenza tra il valore massimo e il valore di regime. Si può esprimere in termini percentuali rispetto al valore di regime.

• tempo di picco: il tempo in cui l'uscita raggiunge il valore massimo.

• tempo di assestamento: il tempo necessario alla risposta per portarsi all’interno di una banda di oscillazione di +/- 5% (o altrimenti specificato) rispetto al valore finale, senza uscirne più.

Valori di smorzamento minori di 0.7 comportano sovraelongazione elevata, comportamento non gradito perchè può danneggiare il sistema, e piccoli tempi di risposta. Viceversa valori maggiori di 0.7 rendono il sistema lento. Quindi in fase di progettazione si tende ad imporre valori di smorzamento prossimi a 0.7

12. Sistemi con smorzamento nullo. Sugamiele

La risposta è formata da una sinusoide non smorzata, di ampiezza costante, con pulsazione ω_n . Tale comportamento in genere è poco gradito dato che ad un impulso, segnale che torna a zero, il sistema risponde (antitrasformata della fdt) con una sinusoide che non torna più a zero. Si dice che il sistema è al limite della stabilità (5° anno). Il sistema praticamente è un generatore sinusoidale!