Diagrammi di Bode

Distillato

I componenti reattivi, inseriti in un circuito dove agiscono segnali sinusoidali, presentano un comportamento variabile in funzione della frequenza.

Di conseguenza segnali sinusoidali di uguale ampiezza ma frequenza diversa, applicati all'ingresso di un circuito, possono trasferirsi in uscita oppure no, in funzione della frequenza (comportamento da filtro).

Si pone il problema di ricavare e rappresentare graficamente il legame ingresso uscita (fdt) a regime sinusoidale al variare della frequenza ( in modo semplice e indipendente dalla complessità dell FdT stessa ) in modo da poter valutare il comportamento del circuito.

18. Definizione di Diagramma di bode di una fdt

Rappresentazione grafica asintotica, sul piano semilogaritmico, in funzione della frequenza, del modulo e della fase della fdt a regime sinusoidale

1. segnale sinusoidale: valore massimo, fase, fase iniziale, velocità angolare, vettore rotante, periodo, frequenza

http://digilander.libero.it/antonino_noto/sinusoide.htm

Si consideri l'espressione s(t)=30sin(200t-90°).

s(t) è una funzione reale della variabile reale t: la variabile indipendente (dominio) è il tempo, la variabile dipendente (codominio) è s(t)

2. transitorio e regime

In seguito all'applicazione del segnale di ingresso, inizialmente l'uscita cambia per un certo intervallo di tempo detto transitorio.

Al termine del transitorio l'uscita si stabilizza, i suoi parametri non cambiano più, e si ha la condizione di regime.

Ad es. ci sono circuiti in cui, se l'ingresso è un gradino, la risposta, dopo un intervallo di tempo in cui varia esponenzialmente (transitorio), si stabilizza intorno ad un valore costante (regime).

Allo stesso modo può succedere che con ingresso una sinusoide, durante il transitorio l'uscita è sinusoidale con ampiezza crescente, mentre a regime l'uscita si stabilizza su una sinusoide di ampiezza costante, fase iniziale ben definita e frequenza pari a quella del segnale di ingresso (ovviamente se la rete è lineare).

In questo studio ci occupiamo solo della fase di regime, successiva al transitorio.

2a. reti lineari e isofrequenzialità Giovanni Sugamiele

Una rete è lineare se è costituita da generatori indipendenti, generatori dipendenti lineari e da componenti lineari (R, C, L).

In una rete lineare sottoposta all'azione di un generatore sinusoidale, a regime, tutte le tensioni e le correnti sono sinusoidali con la stessa frequenza del generatore: può cambiare solo l'ampiezza e la fase iniziale. Questo semplifica lo studio dato che si conosce la frequenza del segnale di uscita.

3. Numeri complessi; rappresentazione vettoriale cartesiana; moltiplicazione di un vettore per l'unita' immaginaria; somma e sottrazione.

4. rappresentazione vettoriale polare; prodotto e divisione; sfasamento tra vettori; conversione in cartesiana

Es. convertire i seguenti numeri da una rappresentazione all'altra.

Es. Definire il modulo di un numero reale e il modulo di un numero complesso. Comprendere come la prima definizione sia un caso particolare della seconda.

Es. Verificare che la definizione degli operatori somma, sottrazione, prodotto e divisione nel campo dei numeri complessi sia applicabile ai numeri reali.

5. passaggio dalla rappresentazione polare a quella temporale

Il modulo e la fase del vettore coincidono rispettivamente con il valore massimo e la fase iniziale della sinusoide.

6. metodo simbolico Giovanni Sugamiele

A causa della isofrequenzialità, nelle reti lineari, tutti i vettori, che rappresentano i vari segnali sinusoidali, ruotano sincroni tra loro, rimanendo nella stessa posizione relativa; di conseguenza basta considerarli fermi, effettuando lo studio in un solo istante.

Da questa osservazione nasce il metodo simbolico che sostituisce alla sinusoide un vettore fermo.

I vettori si rappresentano con i numeri complessi e quindi lo studio a regime sinusoidale utilizza i numeri conplessi; ad es. 2+j4.

Ma anche 1 è un numero complesso: ha parte immaginaria nulla.

Cosi' anche j3 è un numero complesso con parte reale nulla.

7. fdt a regime sinusoidale; legame tra modulo e fase della fdt e risposta temporale

La fdt a regime sinusoidale si può ottenere a partire da quella nel dominio di s, con s=jω. (semplice da intuire ma non da dimostrare).

Si ottiene ancora una espressione nel dominio dei numeri complessi, vettoriale, in genere espressa in forma polare.

Risulta V₀(jω)= F(jω)*V_i(jω)

Si sottolinea che V₀ è una espressione vettoriale e può essere scomposta in :

|V₀|= |F(jω)|*|V_i|

∠V₀=∠F(jω)+∠V_i

_{La corrispondente rappresentazione nel dominio del tempo vo(t) costituisce un insieme di valori reali:}

_{vo(t) = |V0|} * sen( _{ω * t + ∠V0} )

Es. Ricavare v_i(t) con v_o(t)= 3sin(1000t+30), |F(j1000)| =2, ∠F(j1000) = 30°

8. impedenza; R, C, L; fase dell'impedenza Alessio Nicosia

L'impedenza Z è il rapporto tra i vettori V e I. Quindi Z è un vettore che ha:

• come modulo il rapporto tra i moduli di V e I

• come fase la differenza tra le fasi di V e I.

E' scontato che il modulo dell'impedenza si misura in Ohm.

La fase dell'impedenza è lo sfasamento tra i vettori V e I:

fase(Z)=fase(V)-fase(I); fase(V)=fase(I)+fase(Z)

9. comportamento al variare della frequenza dei componenti lineari

Si consideri soltanto il modulo dell'impedenza.

Poichè Z=0 significa cc, mentre Z=inf significa ca si comprende che in funzione della frequenza i segnali possono essere completamente bloccati o fatti passare.

), quindi con il coefficiente numerico unitario;

Il coefficiente dei termini in s prende il nome di costante di tempo.

Il coefficiente numerico moltiplicativo complessivo prende il nome di costante di Bode.

Supponendo che la Fdt sia formata da una costante di Bode k, n zeri reali e negativi, m poli reali e negativi ed un polo nullo si ha:

F(s) = k(1+sτ_z1)(1+sτ_z2)...(1+sτ_zn) / s(1+sτ_p1)(1+sτ_p2)...(1+sτ_pm)

12. espressione del modulo in dB Alessio Nicosia

Il modulo della fdt è il prodotto/rapporto di tre tipi di termini elementari (trascurando i termini di secondo ordine): costante, polo/zero nullo, polo/zero reale e negativo.

Poichè graficamente è semplice effettuare la somma-differenza tra termini elementari e non il prodotto-rapporto, conviene esprimere il modulo in decibel e utilizzare la proprietà dei logaritmi che associa al log del prodotto/rapporto tra termini, la somma/differenza dei log dei singoli termini.

Supponendo che la Fdt sia formata da una costante di Bode k, n zeri reali e negativi, m poli reali e negativi ed un polo nullo si ha:

|F(jω)|= |k| * √(1+(ωτ_z1)²) * ... *√(1+(ωτ_zn)²) / ( √(1+(ωτ_p1)²) *... *√(1+(ωτ_pm)²) * ω )

|F(jω)|_dB= 20log|k| + 20log√(1+(ωτ_z1)²) + ... +20log√(1+(ωτ_zn)²) - 20log√(1+(ωτ_p1)²) -... -20log√(1+(ωτ_pm)²) - 20logω

13. espressione della fase

La fase della fdt è la somma tra le fasi dei termini a numeratore, meno la somma delle fasi dei termini a denominatore. Quindi graficamente è semplice effettuare la somma dei vari contributi.

Supponendo che la Fdt sia formata da una costante di Bode k (positiva 0°, negativa 180°), n zeri reali e negativi, m poli reali e negativi ed un polo nullo si ha:

∠F(jω) = 0°/180°+ arctgωτ_z1 + ... + arctgωτ_zn - arctgωτ_p1 -...- arctgωτ_pm - 90°

14. scala lineare e logaritmca, decade e ottava, origine scala log, vantaggi scala log, piano semilogaritmico Alessio Nicosia

(per stampare tasto dx sull'immagine http://digilander.libero.it/antonino_noto//semilog.htm )

Nella scala lineare segmenti di uguale lunghezza presentano la differenza tra gli estremi costante.

Nella scala logaritmica segmenti di uguale lunghezza presentano il rapporto tra gli estremi costante.

Se il rapporto tra gli estremi è 10 si parla di decade, se il rapporto è 2 si parla di ottava.

In una scala log, campi di valori piccoli sono esaltati, campi di valori grandi sono attenuati; l'origine della scala non è rappresentabile dal valore zero.

15. db, pendenza, funzione lineare su piano semilogaritmico Alessio Nicosia

Una grandezza adimensionale x si può esprimere in dB tramite la relazione 20*logx.

In un piano semilog funzioni del tipo: y(x)=K*logx hanno un andamento rettilineo; k risulta la pendenza della retta.

La pendenza è il rapporto Δy/Δx; sui diagrammi di Bode si usa dB/dec se Δx è una decade o più raramente dB/ott se Δx è un'ottava.

16. somma grafica tra rette ( http://digilander.libero.it/antonino_noto/bodemod.htm ) Alessio Nicosia

La somma tra due rette è una retta che ha come coefficiente angolare la somma tra i coefficienti angolari delle rette.

Si procede valutando un punto e la pendenza:

• si sommano le ampiezze delle rette all'estremo sinistro e si trova il punto iniziale;

• si sommano algebricamente le pendenze e si traccia la retta risultante passante per il punto precedente.

Per sommare graficamente tratti di rette si calcola l'estremo sinistro come somma delle ampiezze e, dopo,si procede per pendenze ricalcolando la pendenza totale ad ogni variazione.

17. rappresentazione asintotica di k, polo e zero nullo, polo e zero reale e negativo

http://lpsa.swarthmore.edu/Bode/BodeHow.html

18. Definizione di Diagramma di bode di una fdt

Rappresentazione grafica asintotica, sul piano semilogaritmico, in funzione della frequenza, del modulo e della fase della fdt a regime sinusoidale

19. (maturità 2014) Per le seguenti fdt G1(s) = 2 / ( 1+ s 0.001) e G2(s) = 4 / ( 1+ s 0.001)²

• determinare il tipo di filtro

• ricavare l'ampiezza delle prime tre armoniche di un'onda quadra +/-5V, f=10KHz (serie di Fourier in www) applicata in ingresso

• ricavare l'ampiezza in uscita delle tre armoniche e il valore percentuale di ogni armonica rispetto alla fondamentale. Valutare se è possibile trascurare alcune armoniche.

• rappresentare l'andamento temporale del segnale di ingresso e di uscita.

• rifare i calcoli per un'onda quadra di 10Hz