Regolazione industriale

1. Definizione di regolatore industriale

Si pone il problema di stabilizzare o migliorare la stabilità di sistemi di cui non si conosce il modello matematico.

In questi casi si possono utilizzare i regolatori industriali, apparecchiature che forniscono gli elementi necessari per realizzare il controllo automatico:

• il generatore per il segnale di riferimento, set point.

• il nodo di confronto tra il set point e il segnale reazionato. Il risultato del confronto è il segnale di errore.

• il blocco, detto regolatore, che elabora il segnale di errore (ingresso) e fornisce in uscita il segnale da applicare al sistema.

Il sistema di controllo deve essere completato con amplificatori, attuatori e sensori più opportuni per effettuare la particolare azione di controllo e di reazione.

La legge matematica tra uscita ed ingresso del regolatore è la somma di tre contributi, proporzionale + integrale + derivativo, da cui il nome PID; questi contributi possono essere dosati in funzione di tre parametri KI, KP e KD: il problema che il progettista deve risolvere consiste 'semplicemente' nella loro scelta per ottenere la legge matematica di regolazione più adatta al particolare sistema.

Si esaminano i modelli matematici di un regolatore industriale.

Nella discussione seguente non bisogna far confusione tra ingresso e uscita del regolatore ed ingresso ed uscita del sistema.

Nella pratica ingresso ed uscita avranno campi di valori ben definiti, al di fuori dei quali la regolazione non è possibile.

2. Regolazione ON-OFF

Non fa parte dei regolatori industriali; la si tratta perchè è la soluzione più immediata.

L'uscita del regolatore può assumere solo due valori, erogazione di potenza massima, stato ON, o minima, stato OFF.

La regolazione con una sola soglia, il set point, non è praticabile, in quanto il rumore, anche minimo, determina un continuo attraversamento della soglia e quindi una continua oscillazione dell'attuatore per motivi indesiderati.

Si usa quindi la regolazione con due soglie.

Risulta e = SP -R, oppure R=SP -e; inoltre l'andamento di R riproduce proporzionalmente quello dell'uscita del sistema (normalmente).

Un valore del segnale di errore al di sopra della soglia massima, perchè R è troppo piccolo ( e >Δ; R< SP - Δ), produce lo stato ON (Yreg=max). L'uscita del sistema aumenta insieme ad R e l'errore diminuisce finchè raggiunge la soglia inferiore ( e = - Δ; R= SP + Δ) che produce lo stato OFF (Yreg=min). Quindi l'uscita del sistema diminuisce e l'errore aumenta, finchè raggiunge nuovamente il valore superiore, e il ciclo ricomincia.

Rappresentando Yreg in funzione dell'errore si evidenzia il ciclo di isteresi centrato intorno allo zero.

Nel tempo l'uscita del sistema e il corrispondente valore di reazione variano intorno al set point, mentre l'errore varia intorno allo zero.

Si sottolinea ancora che l'uscita del sistema (come anche R) è costretta a percorrere continuamente ed in tutta la sua interezza un ciclo di isteresi di valore centrale SP.

La precisione in uscita migliora se si riduce Δ; ma questo comporta una maggiore frequenza nel tempo degli stati ON-OFF, che può pregiudicare il tempo di vita dell'organo di attuazione (soprattutto se è meccanico, ad es. relè).

Questa regolazione non è consigliabile per sistemi che hanno:

• costanti di tempo piccole: il ciclo sarà percorso più frequentemente;

• elevata inerzia: è facile che la variabile controllata esca fuori dal campo di valori previsto.

In conclusione si tratta di una regolazione semplice ed economica ma poco precisa.

Può andar bene per uno scaldabagno ma non ad es. per controllare la velocità un veicolo; immagina il comportamento di un ciclomotore con l'acceleratore a due posizioni, minimo e massimo: per alcuni può risultare piacevole, ma non è efficiente! E' necessaria un'azione di regolazione continua nei valori assunti da Yreg.

3. Regolazione proporzionale

E' l'azione più semplice, intuitiva e indispensabile per una azione continua di regolazione: l'uscita del regolatore è direttamente proporzionale all'errore; all'aumentare dell'errore l'azione è sempre più intensa, invece se l'errore è piccolo l'azione è piccola. L'azione proporzionale è utilissima nel transitorio iniziale in cui l'errore è elevato (ad es. nella risposta al gradino l'errore è massimo all'inizio...). A regime, se l'uscita raggiunge il set point, l'azione proporzionale (di correzione) è nulla o segue le fluttuazioni dovute al rumore.

Ed ecco il primo parametro del regolatore PID: la costante di proporzionalità KP tra l'ingresso e l'uscita del regolatore (FdT del regolatore), detta guadagno proporzionale: Yreg = Yo + KP*e

All'aumentare di KP:

• la pendenza aumenta

• a parità di errore, l'azione di regolazione è più intensa;

• a parità di campo di variazione dell'uscita del regolatore ( valori massimi ammissibili ), il campo di variazione dell'errore si riduce.

L'implementazione digitale è molto semplice e non dipende dalla conoscenza del periodo di campionamento dell'uscita:

azione proporzionale = KP * e

con e = uscita desiderata - uscita effettiva

Dato che la FdT del regolatore è una costante, la regolazione proporzionale varia soltanto il guadagno statico della FDT ad anello aperto con il rischio anche di introdurre instabilità nel sistema reazionato.

La regolazione proporzionale non cambia il tipo di sistema e per sistemi di tipo 0 non è possibile annullare l'errore statico: un errore piccolo e costante comporta un'azione proporzionale piccola e costante che non risolve il problema del raggiungimento del set point; per i sistemi di tipo 0, se si vuole annullare l'errore statico, bisogna considerare altre leggi di regolazione.

4. Regolazione integrale

L'uscita del regolatore è proporzionale all'integrale dell'errore rispetto al tempo.

E' basata sulla considerazione che il valore medio dell'errore nel tempo deve essere nullo: l'errore, variando, deve risultare sia positivo che negativo e mediamente deve essere nullo. Sappiamo che il valore medio di un segnale continuo (periodico) è il rapporto tra l'area del segnale in un periodo e il periodo stesso, e l'area è il risultato di una integrazione; da cui il nome di azione integrale.

Questa azione è molto diversa dalla precedente.

Si possono esaminare diverse situazioni in cui le due azioni, proporzionale ed integrale, si completano.

All'inizio, per tempi piccoli, l'area è in ogni caso piccola, l'intervento dell'azione integrale è limitato anche se l'errore è considerevole e prevale l'azione proporzionale.

Viceversa, esaurito il transitorio, se l'errore è costante e piccolo (ad es. per i sistemi di tipo 0), l'azione proporzionale è limitata; ma quella integrale diventa via via sempre più intensa fino a correggere l'uscita e a far assumere all'errore il segno opposto in una continua oscillazione intorno al setpoint: è l'azione integrale che determina il comportamento a regime.

Può verificarsi che l'errore sia nullo, quindi azione proporzionale nulla, ma l'azione integrale continua ad agire se il valore medio dell'errore non è nullo (il sistema ha memoria).

Si deduce che le due azioni convivono molto bene insieme e che la sola azione integrale non è applicabile.

Per le proprietà della TdL, nel dominio di s l'integrale corrisponde ad un polo nullo moltiplicato per una costante, KI.

Infatti L{ ʃ f(t)dt }=F(s)/s.

Considerando insieme l'azione proporzionale ed integrale si ottiene per il regolatore una FdT con uno zero reale ed un polo nullo: KP+ KI/s = (sKP+ KI)/s.

Quindi il sistema aumenta di tipo, rendendo possibile l'annullamento dell'errore di posizione.

L'implementazione digitale dipende dalla conoscenza del periodo di campionamento dell'uscita; l'integrazione digitale è semplice essendo una somma iterata:

azione integrale = azione integrale precedente + KI*e*dt

con e l'errore, dt il periodo di campionamento.

E' necessario prevedere un limite minimo e massimo per il valore dell'azione, a causa della natura incrementale dell'algoritmo.

5. Regolazione derivatrice

L'uscita del regolatore è proporzionale alla derivata dell'errore rispetto al tempo.

E' basata sulla necessità di intervenire se l'errore varia velocemente, indipendentemente dal suo valore, intervenendo quindi con prontezza per evitare che l'errore assuma valori eccessivi.

Quindi variazioni improvvise dell'errore, producono una intensa azione.

Ad es. se l'errore è piccolo, ma la sua pendenza è elevata, l'azione proporzionale è piccola e non riesce a correggere, altrettanto quella integrale che è lenta, ma l'azione derivatrice può intervenire efficacemente. Quindi l'azione è utile per sistemi stabili (con errori piccoli) ma sensibili a variazioni veloci.

E' una regolazione che agisce molto all'inizio del transitorio, insieme all'azione proporzionale; infatti durante il transitorio l'errore è elevato ma in rapida diminuzione man mano che si raggiunge il valore finale: in questa situazione l'azione derivatrice si oppone a quella proporzionale, che può essere eccessiva in previsione del raggiungimento del valore finale (errore in diminuzione), e può ridurre la successiva sovraelongazione.

Ad es. si consideri il controllo per l'attracco di una imbarcazione: per evitare l'urto sulla banchina (evitare la sovraelongazione) è necessaria una opportuna azione derivatrice in opposizione a quella proporzionale...

Una controindicazione al suo utilizzo può essere la presenza di sensori rumorosi (falsi errori) che verrebbero ulteriomente esaltati. Per questo motivo diversi sistemi di controllo limitano l'azione di questa regolazione.

Per le proprietà della TdL nel dominio di s la derivata corrisponde ad uno zero nullo moltiplicato per una costante che viene indicata con KD.

Infatti L{f'(t)}=s*F(s) - f(0^-)

Considerando insieme l'azione proporzionale e derivatrice si ottiene una FdT con uno zero reale : KP+ KD*s (fisicamente irrealizzabile)

L'implementazione digitale dipende dalla conoscenza del periodo di campionamento dell'uscita; il calcolo della derivata in digitale è semplice essendo una divisione:

azione derivatrice = KD* Δe/dt

con Δe variazione dell'errore nell'intervallo dt, dt il periodo di campionamento.

6. PID

I regolatori industriali già realizzati presentano le tre azioni insieme e si pone soltanto il problema di scegliere, in base al sistema da regolare, il valore dei tre parametri. Un metodo conosciuto è quello di Ziegler-Nichols.

Un regolatore PID da realizzare comporta invece una serie di considerazioni legate alla realizzabilità delle relazioni matematiche discusse.

Si rimanda al web;

ftp://ftp.elet.polimi.it/users/Alberto.Leva/MasterAutomazione/IntroPID.PDF

http://it.wikipedia.org/wiki/Controllori_PID

http://it.rs-online.com/web/p/controllori-di-temperatura-pid/4819369/