Queste risposte riassumono gli argomenti e si rimanda ad uno studio più accurato sul libro di testo.
1. Analisi della risposta di un sistema.
Si pone il problema di determinare l’andamento temporale delle uscite (variabili di interesse, tensioni o correnti in varie parti del circuito )
in seguito all'applicazione di definiti ingressi e condizioni iniziali.
La complessità del problema dipende molto dalla presenza di componenti reattivi: condensatori e induttori; lo studio è molto più semplice se la rete è puramente resistiva.
2. Cosa si intende per componente reattivo. Quali componenti di questo tipo conosci?
Per componente reattivo si intende un componente in grado di immagazzinare energia e cederla successivamente. Nell'ambito elettrico i componenti reattivi sono il condensatore, componente in grado di accumulare carica elettrica in funzione della tensione ai suoi capi e l’induttore, in grado di
accumulare flusso del campo magnetico in funzione della corrente che lo attraversa.
3. Definire il modello matematico nel dominio del tempo del condensatore in termini di tensione e corrente.
Considerando variazione temporali finite, per un condensatore lineare, la variazione di carica accumulata, Δq, è direttamente proporzionale alla variazione di tensione ai capi del componente, Δv
Δq=C*Δv e la costante di proporzionalità si chiama capacità e si misura in Farad.
Ad es. all'aumentare della carica accumulata, la tensione aumenta proporzionalmente; se la carica non varia, la tensione rimane costante.
Dalla definizione di corrente si ha: i=Δq/Δt e quindi Δq=i*Δt
Sostituendo nella prima relazione si ha i*Δt=C*Δv
i =C*Δv/ Δt
Questa relazione indica che:
• se nel tempo si ha variazione di tensione, allora circola corrente
• se invece la tensione è costante (anche di valore elevato) allora la corrente è nulla (comportamento in CC da c.a.)
Il componente accumula energia di tipo elettrico E=1/2CV2 in funzione della tensione.
In termini di potenza P= ΔE/Δt, si osserva che se Δt =0 deve risultare anche ΔE=0, altrimenti si avrebbe potenza infinita ΔE/0=∞
Questo significa che l'energia accumulata non può subire brusche variazioni (variazioni in tempo nullo) e lo stesso vale per la tensione associata all'energia: il componente reagisce, è reattivo, nei confronti dell'energia in arrivo (diversamente dal resistore) accumulando carica elettrica e generando una tensione che si oppone all'energia in arrivo.
Es. Confronto tra resistore e condensatore.
Si consideri un resistore e un condensatore in parallelo, con R, C e Δt unitari per semplicità. Supponiamo di conoscere la tensione V ai capi del parallelo in vari istanti di tempo e calcoliamo la corrente sui due componenti
Risulta IR= V/R quindi, come sappiamo dalla legge di Ohm, in qualunque istante, IR è proporzionale alla tensione: se la tensione vale migliaia di volt la corrente vale migliaia di ampere (R unitaria...).
Invece IC dipende dalla differenza tra le tensioni di due istanti successivi, e quindi se la tensione è costante la corrente è zero: anche se la tensione vale migliaia di volt ma è costante, la corrente sul C vale 0! ( se il condensatore non si carica ne scarica significa che la corrente è nulla e la tensione è costante)
4. Definire il modello matematico nel dominio del tempo dell'induttore in termini di tensione e corrente.
Si conduce uno studio duale sostituendo V a I e viceversa, ed L a C, il flusso Φ ( Φ vettore induzione magnetica, flusso attraverso le spire dell'induttore) alla carica q.
Si ottiene
v =L*Δi/ Δt
Questa relazione indica che:
• se nel tempo si ha variazione di corrente, allora ai capi del componente si genera una tensione (di segno tale da opporsi alla variazione di corrente...Lenz: se la corrente tende ad aumentare, la tensione è positiva opponendosi all'aumento)
• se invece la corrente è costante (anche di valore elevato) allora la tensione è nulla (comportamento in CC da c.c.)
Il componente accumula energia di tipo magnetico E=1/2LI2 in funzione della corrente.
In questo caso è la corrente che non può subire brusche variazioni.
5. Rete lineare tempo invariante
Una rete è lineare se è composta da componenti lineari (R, C, L e non diodi, transistori,...), generatori indipendenti e generatori dipendenti lineari. Un componente è lineare se il suo modello matematico graficamente è una retta passante per l'origine: ad es. v=R*i, q=C*v, Φ=L*i.
Una rete è tempo invariante se i suoi parametri non cambiano nel tempo.
Ci occuperemo solo di tali tipi di sistemi detti LTI
6. Tipologia delle equazioni che descrivono una rete circuitale nel dominio del tempo in presenza di componenti reattivi.
A causa del particolare legame temporale tra corrente e tensione, le equazioni che descrivono una rete circuitale con condensatori e induttori non sono di tipo algebrico perchè contengono derivate o integrali.
Nel dominio del tempo la risoluzione si può effettuare in due modalità:
• con le variazioni finite, tramite calcoli iterativi
• con le variazioni infinitesime tramite un 'nuovo' operatore, la derivata, ottenendo equazioni dette differenziali.
In altre parole non è possibile ricavare il legame tra l'andamento temporale del segnale di ingresso e quello di uscita soltanto con operazioni algebriche (+,-, *, /)
7. Definizione di Trasformata di Laplace (TdL)
La TdL associa ad una funzione nel dominio del tempo una corrispondente funzione nel dominio della variabile complessa s, e viceversa, secondo leggi ben precise. In questa sede, non è necessario conoscere tali leggi (che utilizzano il calcolo integrale), dato che si utilizzano delle tabelle sufficientemente complete per le nostre esigenze.
8. Tipologia delle equazioni che descrivono una rete circuitale nel dominio di s in presenza di componenti
reattivi.
Nel dominio di s per i componenti R, C, L si hanno i seguenti modelli matematici :
per la resistenza R: V(s)=R*I(s)
per il condensatore: V(s)=1/sC*I(s)
per l'induttore: V(s)=sL*I(s)
La conseguenza è che le equazioni che descrivono una rete circuitale nel domino di s è di tipo algebrico e non differenziale, anche in presenza di componenti reattivi.
In altre parole il legame tra l'andamento nel dominio di s del segnale di ingresso e quello di uscita dipende solo da operazioni algebriche.
Da questo si deduce la notevole semplificazione dovuta alla TdL.
9. Procedimento di calcolo di un segnale di uscita con il metodo della TdL.
Si suppone che i componenti reattivi siano inizialmente scarichi.
Si seguono i seguenti passi:
• si trasforma il circuito nel dominio di s:
• a vi(t), tramite tabella, si sostituisce Vi(s);
• la resistenza R si lascia inalterata
• al condensatore si sostituisce 1/sC
• all'induttore si sostituisce sL
• si ricava l’uscita Vo(s) (o una qualunque altra variabile ad es. una corrente) con le leggi dell'Elettrotecnica in continua
• si antitrasforma Vo(s) per ottenere, tramite tabella, vo(t)
Il metodo ha validità generale ed è indipendente dalla complessità della rete e del segnale di ingresso purchè si riesca a trasformare vi(t) e antitrasformare Vo(s).
10. Segnali elementari nel dominio di t e di s: impulso ideale, gradino unitario, rampa unitaria, esponenziale.
Per la definizione dei segnali e la loro rappresentazione grafica si rimanda al testo.
Esercizi. Antitrasformare le seguenti funzioni:
10/s
1/2s
3/5s
10/(s+2)
1/(2s+1)
1/(2s+3)
5/s(3+4s)
11. Proprietà della linearità per la TdL.
Si conosce:
f(t) e la corrispondente F(s), g(t) e la corrispondente G(s).
Per combinazione lineare tra due funzioni si intende l'espressione: k1*f(t)+k2*g(t), con k1, k2 costanti reali.
Si vuole ricavare la TdL di una combinazione lineare tra le due funzioni. Risulta:
L[k1*f(t)+k2*g(t)] = k1*F(s)+k2*G(s)
Questa proprietà è importante perchè, se in tabella non si dispone della TdL di una funzione y(t), è possibile eseguire la TdL se si riesce a esprimere la funzione y(t) in termini di combinazione lineare di funzioni più semplici presenti in tabella (metodo dei residui o Heaviside o scomposizione in fratti semplici).
12. Funzione di trasferimento (FdT).
E' il rapporto tra la TdL dell'uscita e la TdL dell'ingresso. In termini di tensione F(s)=Vo(s)/Vi(s).
La funzione di trasferimento è una funzione algebrica razionale fratta, ed è il rapporto tra due polinomi in s.
La FdT è indipendente dall' ingresso (per la linearità del sistema); dipende solo dai parametri del sistema: R, L, C...
La FdT determina il sistema; è il modello matematico che descrive il sistema; dalla FdT si può dedurre il comportamento del sistema in ogni possibile condizione di funzionamento.
La conoscenza della FdT permette di ricavare la risposta a qualunque ingresso: Vo(s)= F(s)*Vi(s)
Si può dimostrare che per una rete reale, fisicamente realizzabile, se la fdt è il rapporto tra tensione di uscita e di ingresso, il grado del numeratore non può superare quello del denominatore. Questo è legato alla considerazione che alle alte frequenze (studio a regime sinusoidale) intervengono sempre capacità parassite che cortocircuitano amplificatori ed uscite; quindi il guadagno è nullo (grado di N minore del grado di D) o, al massimo, può essere un valore finito (grado di N uguale al grado di D)
13. FdT come risposta all'impulso.
Se al sistema si applica un impulso ideale risulta Vi(s)=1.
Quindi Vo(s)= F(s)*Vi(s)= F(s)*1= F(s)
Allora la FdT rappresenta la risposta all'impulso nel dominio di s, e la sua antitrasformata rappresenta la risposta all'impulso nel dominio di t.
14. Poli e zeri
Le radici di un polinomio sono i valori che lo annullano.
Il loro numero coincide con il grado del polinomio; infatti nel campo dei numeri complessi le radici si possono ricavare anche con il discriminante negativo: in questo caso risultano complesse e coniugate.
Gli zeri sono le radici del polinomio al numeratore.
I poli sono le radici del polinomio al denominatore.
Poli e zeri hanno una molteplicità, data dall'esponente: possono essere semplici, doppi, ecc.
Ad es. F(s)=1/(s+2)2 presenta un polo reale e negativo, p=-2, di molteplicità doppia.
Poli e zeri possono essere anche nulli; ad es. F(s) = s/((s+1-j)*(s+1+j)) presenta uno zero nullo ed due poli complessi e coniugati p=-1±j.
Vedremo che i poli sono molto importanti in quanto caratterizzano drasticamente la risposta temporale.
La FdT può essere espressa univocamente almeno in due modi:
con i coefficienti dei polinomi a numeratore e denominatore
in base a poli, zeri e fattore numerico moltiplicativo (amplificazione). Infatti un polinomio si può esprimere in forma fattorizzata (prodotto di fattori) in base alle sue radici.
15. Legame tra poli, componenti reattivi e ordine di un sistema.
Il numero dei poli coincide ( tranne condizioni particolari ) con il numero di componenti reattivi indipendenti (non semplificabili tramite serie e parallelo). Il numero dei poli è anche il grado del corrispondente polinomio a denominatore che prende il nome di ordine del sistema.
16. Sistemi di ordine zero. FdT e legame tra forma dei segnali di in e out.
I sistemi di ordine zero sono quei sistemi che non hanno componenti reattivi e sono formati solo da resistenze;
per l’assenza dei fenomeni accumulo di energia e quindi di ritardo temporale, il segnale di uscita ha la stessa forma del segnale di ingresso.
La FDT non dipende dalla variabile s: Vo(s)=K*Vi(s); il coefficiente k è detto coefficiente di attenuazione (<1) se la rete è passiva o di amplificazione (>1) se è attiva cioè se contiene amplificatori. Quindi il segnale di ingresso e il segnale di uscita hanno lo stesso andamento temporale ma ampiezza diversa in funzione di K.
17. Significato dei poli reali nella antitrasformata.
Ad ogni polo reale corrisponde una costante di tempo τ = -1/p e, nel dominio del tempo, un corrispondente esponenziale:
se il polo è negativo l'esponenziale decresce,
se il polo è positivo l'esponenziale cresce con problemi di instabilità ( un segnale crescente nel tempo pone seri problemi ...).
Nei casi più semplici l'antitrasformata è somma di tanti esponenziali quanti sono i poli.
18. Antitrasformata del polo nullo al variare della sua molteplicità
Ad un polo nullo semplice (1/s) corrisponde un gradino, ad un polo nullo di molteplicità 2 (1/s2) corrisponde una
rampa, ...
19. Metodo dei residui, altrimenti detto di Heaviside o sviluppo in somma di frazioni parziali, e sua utilità.
Consideriamo una F(s)=N(s)/D(s) con il grado del denominatore <= a quello del numeratore.
Per semplicità abbiamo usato il metodo in assenza di poli multipli.
Si procede nel seguente modo:
• si ricavano i poli
• si esprime il denominatore come prodotto di termini elementari, uno per ogni polo: D(s)=(s-p1)*(s-p2)*...
• si esprime F(s) come somma di termini elementari, uno per ogni polo: F(s) = R1/(s-p1) + R2/(s-p2) + ... (a)
• si calcolano i residui, coefficienti moltiplicativi di ogni addendo della FdT; risulta Ri = F(s)*(s-pi)|s=-pi
• E' anche possibile calcolare i residui impostando un sistema ottenuto:
sviluppando la relazione (a) con il mcm
uguagliando i coefficienti del polinomio a numeratore con i corrispondenti coefficienti di N(s).
Il metodo è utile perchè:
la fdt di un sistema comunque complesso può essere trasformata in somma di frazioni del primo e secondo ordine (nel campo complesso ogni polinomio ammette tante radici quanto è il grado) presenti in tabella.
permette di antitrasformare una funzione non presente in tabella, esprimendola come somma di termini presenti.
20. Teorema del valore iniziale e finale.
I due teoremi permettono di ricavare il valore iniziale e finale della funzione f(t) conoscendo soltanto la funzione F(s), senza antitrasformarla.
VALORE INIZIALE (t→0 ) f(0) = limt→0f(t) = lims→∞ s*F(s)
VALORE FINALE (t→∞ ) f(∞) = limt→∞f(t) = lims→0 s*F(s)
Nel caso del teorema del valore finale affinchè limt→∞f(t) sia finito, i poli devono avere parte reale negativa; quindi il calcolo lims→0 s*F(s) ha significato solo nel caso di poli con parte reale negativa.
21. Proprietà della derivata e passaggio dalle relazioni differenziali a quelle algebriche.
Consideriamo una f(t) e supponiamo di conoscere la corrispondente F(s)
L{f(t)}=F(s)
Si pone il problema di ricavare la trasformata della derivata della f(t).
Risulta:
L{f'(t)}=s*F(s) - f(0)
Quindi nel dominio di s il calcolo della derivata di una funzione risulta molto semplice, basta moltiplicare la funzione per s.
(Inoltre vale la proprietà che per integrare una funzione nel dominio di s basta dividerla per s)
Questa proprietà consente di trasformare le equazioni differenziali nel dominio del tempo in equazioni algebriche nel dominio di s.
Per semplicità supponiamo f(0)=0 condizione che si traduce nell'ipotizzare il sistema con condizione iniziale nulla, scarico.
Per un condensatore si ha:
i =C*Δv/ Δt
Passando agli infinitesimi
i(t)=C*dv(t)/dt, che esprime la diretta proporzionalità tra corrente e derivata della tensione rispetto al tempo.
Trasformando ambo i membri si ha:
I(s)=C*s*V(s)
V(s)/I(s)=1/sC
Quindi l'impedenza nel dominio di s risulta 1/sC, con evidente eliminazione della derivata.
Analogamente per l'induttore si ha V(s)/I(s)=sL
Esempio.
Per un circuito serie formato da generatore costante, tasto, R, C alla chiusura del tasto si ha la seguente equazione alla maglia:
E = R*i(t) + vc(t)
E = R*C*dvc(t)/dt + vc(t)
Questa relazione è di tipo differenziale; trasformandola nel dominio di s si ha la relazione algebrica:
E/s = RCsVc(s) + Vc(s), in quanto chiudendo il tasto al generatore costante corrisponde un gradino ampio E.
Si ricava
Vc(s) = E/s(RCs+1) espressione che si può facilmente antitrasformare utilizzando le tabelle.