ANALISI DI RETI RESISTIVE CON LE LEGGI DI K.
Data una rete elettrica si pone il problema di determinare tutte le tensioni e le correnti.
Utilizzando resistori lineari, le leggi di K. comportano equazioni lineari e quindi il problema consiste nella risoluzione di un sistema lineare.
Bisogna individuare le incognite e scrivere altrettante equazioni, linearmente indipendenti tra loro pena la non risolvibilità del sistema.
Determinazione delle incognite
La legge ai nodi comporta come variabili le correnti. Ma anche la legge alla maglia si può facilmente esprimere in funzione delle correnti, usando la legge di Ohm.
Allora è possibile limitare le variabili alle sole correnti e trascurare in un primo momento le tensioni.
Bisogna quindi individuare i rami e associare ad ogni ramo una corrente incognita.
Se il ramo contiene un generatore di corrente è evidente che abbiamo una variabile in meno.
Scrittura delle equazioni.
E' importante comprendere quante e quali equazioni ai nodi e alle maglie si possono scrivere.
NODI. Indicando con n il numero dei nodi si possono scrivere n-1 equazioni indipendenti. Per convincersene basta considerare il caso di un circuito con due nodi e provare a scrivere le due equazioni che risultano perfettamente identiche.
MAGLIE. Bisogna determinare un insieme di maglie linearmente indipendenti tra loro. Conviene considerare gli anelli interni (l'anello è una maglia minima) oppure procedere con il seguente algoritmo:
a) Individuo una maglia qualunque.
b) Elimino un lato di questa maglia. La rete si semplifica.
c) Ritorno al punto a) finché le maglie terminano. Le maglie individuate costituiscono un insieme indipendente-.
E' intuibile che una maglia formata da rami tutti già considerati da altre maglie, comporta un'equazione che non aggiunge nessuna informazione: si dice che è linearmente dipendente dalle altre e quindi è inutile.
Si consideri che equazioni senza almeno un componente in comune è come se fossero relative a circuiti separati...
La somma tra n-1 e il numero di maglie indipendenti deve essere uguale al numero delle correnti incognite, altrimenti il problema non è risolvibile.
Risoluzione del sistema
Dopo aver scritto il sistema e sostituito i valori numerici il problema è solo quello della sua risoluzione che si rimanda alle capacità matematiche dello studente. Il problema si può risolvere comodamente tramite semplici app su supporti mobili (tra le app gratis cercare sistemi lineari o equazioni lineari..) o con sw open source per pc, come excel, scilab, ecc.
E' interessante simulare il circuito con Multisim ( oppure app free android o apple) e confrontare con i risultati precedenti.
Ricavate le correnti, si calcolano le tensioni ai capi dei resistori usando la legge di Ohm e quindi tutte le altre tensioni richieste.
Se il problema è di progetto, cioè bisogna determinare il valore dei parametri (delle resistenze) o trovare la dipendenza tra le incognite e i parametri, è evidente che il sistema si deve risolvere in forma letterale. (vedi filtri attivi)
E' possibile ridurre ulteriomente il numero delle incognite con i seguenti due metodi.
METODO DEI POTENZIALI AI NODI
Le incognite sono ridotte a n-1.
Rispetto al metodo delle correnti di maglia è conveniente se la rete presenta pochi nodi.
Individuati i nodi, si sceglie a piacere il nodo di riferimento e si definiscono come variabili i potenziali degli altri nodi rispetto al riferimento.
La conoscenza di queste variabili equivale ad aver risolto la rete in quanto consente di ricavare tutte le correnti e le tensioni del circuito.
Nella seguente descrizione si suppone che la rete contenga solo generatori di corrente: altrimenti si applica Norton ai rami che lo richiedono.
Inoltre per ogni ramo si calcoli la sua conduttanza serie totale.
Per la dimostrazione del metodo basta scrivere le n-1 equazioni ai nodi, in cui la corrente del ramo è il prodotto tra la differenza dei rispettivi potenziali e la conduttanza totale del ramo.
L'applicazione del metodo prevede che per ogni nodo k si scriva una equazione in cui:
figura il potenziale del nodo k e di tutti i nodi direttamente collegati con k attraverso almeno un ramo
il potenziale del nodo k è positivo mentre gli altri potenziali sono negativi
il potenziale del nodo k è moltiplicato per la somma delle conduttanze dei rami che confluiscono nel nodo k
il potenziale degli altri nodi è moltiplicato per la somma delle conduttanze dei rami di collegamento con il nodo k
al secondo membro si sommano algebricamente i generatori di corrente che confluiscono nel nodo k, positive se entranti.
Il sistema si deve scrivere in modo ordinato, con le variabili nello stesso ordine per tutte le equazioni e va risolto con gli opportuni sw.
Non si considera il caso di due nodi collegati con un generatore di tensione ideale.
METODO DELLE CORRENTI DI MAGLIA (o di MAXWELL)
Si individua un insieme di maglie indipendenti, ad es. tramite gli anelli interni. Il metodo è conveniente se il numero di queste maglie è limitato.
Per semplicità supponiamo che non siano presenti generatori di corrente.
Ad ogni maglia si associa una corrente, detta corrente di maglia, tutte con lo stesso verso ad es. orario.
Le correnti dei rami che appartengono ad una sola maglia coincidono con le rispettive correnti di maglia; se il ramo è in comune tra due maglie la sua corrente è la differenza tra le rispettive correnti di maglia.
L'applicazione del metodo prevede che per ogni maglia k si scriva una equazione in cui:
figura la corrente della maglia k e di tutte le correnti di maglia che hanno un ramo in comune con la maglia k
la corrente di maglia k è positiva mentre le altre correnti sono negative
la corrente di maglia k è moltiplicata per la somma delle resistenze della maglia
la corrente delle altre maglie è moltiplicata per la somma delle resistenze in comune
al secondo membro si sommano algebricamente i generatori di tensione della maglia k, positivi se favoriscono la corrente di maglia.