Circuito RC

6. Circuito RC.

Risoluzione con Excel.

Di seguito vengono riportati i grafici delle riposte della rete RC alle sollecitazioni di prova.

Da memorizzare:

con segnali di ingresso costanti a regime il C è un ca
il valore medio del segnale di ingresso cade ai capi del C e non della R
ad alta frequanza il C è un cc, mentre a bassa è un ca
a partire da un'onda quadra è possibile ottenere un'onda quasi triangolare
a regime sinusoidale tutte le tensioni e le correnti sono sinusoidi isofrequenziali: può cambiare solo l'ampiezza e la fase

Considerazione finale

L'analisi alle differenze finite mette in evidenza alcune caratteristiche dei sistemi. Tuttavia rimane un metodo di analisi e non di progetto. Al 4° anno studieremo i circuiti, anche più complessi, attraverso la Trasformata di Laplace che ci permetterà di studiare in modo completo le reti lineari.

Risposta al gradino

τ=0,1s

Il transitorio si esaurisce dopo circa 5-6τ. Le caratteristiche dinamiche dipendono solo da τ

La tensione sulla resistenza dopo un improvviso fronte iniziale, ritorna a zero.; quindi anche la corrente nel circuito torna a zero e il condensatore non si carica più.

La tensione sul condensatore a regime raggiunge la tensione di ingresso: errore nullo a regime.

A regime il condesatore si comporta come un circuito aperto.

Risposta all'onda quadra con T >> τ:

e dutycycle 50%

T= 1 s

τ=0,1 s

Vc segue, esponenzialmente, la sollecitazione rimanendo continua.

Vr subisce i fronti e dopo il transitorio ritorna a zero.

Il valore medio di Vr è zero (area superiore uguale all'area inferiore); il valore medio di Vc deve essere uguale a quello della sollecitazione: 2,5V.

Si osservi che in un circuito in cui agisce un generatore unipolare è possibile la presenza di evoluzioni temporali bipolari.

Risposta all'onda quadra con T = 2τ e dutycycle 80%

T= 0,2 s

τ=0,1 s

Aumentando il dutycycle, aumenta il valore medio in ingresso (4V). Poichè T<5τ l'esponenziale non può completare il transitorio: Vc è formato dai primi tratti di esponenziale centrati intorno a 4V. Al diminuire di T i tratti impegnati di esponenziale sono sempre più piccoli e Vc diventa sempre più triangolare.

Il valore medio di Vr deve essere zero.

Risposta all'onda quadra con T = 2τ e dutycycle 20%

T= 0,2 s

τ=0,1 s

Il dutycycle diminuisce e così il valore medio in ingresso (1V) e di Vc

Il valore medio di Vr deve essere zero.

Risposta all'onda quadra con T >> τ e dutycycle 20%

T= 1 s

τ=0,1 s

Con il dutycicle 20%, il tempo durante il quale il segnale si mantiene a livello alto è pari a 0,2 s, essendo tale tempo inferiore a 5τ la tensione sul condesatore non raggiunge il valore di regime.

Risposta all'onda quadra con T >> τ e dutycycle 80%

T= 1 s

τ= 0,1 s

La tensione sul condesatore riesce a raggiungere il valore finale poiché il tempo durante il quale il segnale d'ingresso si mantiene a livello alto è maggiore 5τ.

10. Risposta all'onda quadra con T << τ

T= 0,5 s

τ= 5 s

Vc assume un andamento quasi triangolare, formato dai tratti iniziali dell'esponenziale: dopo il solito transitorio, l'onda triangolare sul condensatore si assesta su un valore medio (componente continua) pari al valore medio del segnale di ingresso.

Risposta alla rampa

Transitorio e valore di regime.

τ=0,1 s

Dopo un transitorio iniziale, l'uscita è anch'essa una rampa con la stessa pendenza di quella dell'ingresso, ma traslata.

Quindi a regime l'uscita differisce dall'ingresso di un valore costante: si osserva un errore finito a regime.

Risposta alla sinusoide con T << τ (f >>1/τ)

T= 0,1 s

τ=0,1 s

Considerazioni introduttive sul comportamento da filtro.

Dopo un transitorio iniziale la risposta è una sinusoide con la stessa frequenza del segnale di ingresso, ma attenuata e sfasata in ritardo di quasi 90°. Si può affermare che il segnale a frequenza alta non passa.

Praticamente:

se l'ingresso è costante il C si carica e diventa un ca
se l'ingresso è una sinusoide il C è costretto continuamente a caricarsi e scaricarsi. Se la f è troppo alta non ha il tempo di caricarsi e scaricarsi e l'ampiezza della tensione ai suoi capi è ridotta: il segnale non passa.

Risposta alla sinusoide con T >> τ (f << 1/τ)

T= 0,5 s

τ=0,1 s

Considerazioni introduttive sul comportamento da filtro.

Dopo un transitorio iniziale la risposta è una sinusoide con la stessa frequenza del segnale di ingresso, meno attenuata e sfasata rispetto al caso precedente. Si può affermare che il segnale a frequenza bassa passa.

Il circuito quindi presenta caratteristiche discriminatorie rispetto alla frequenza: alcune frequenza passano, altre no. Si parla di FILTRO e

in questo caso di filtro passabasso perchè passano le basse frequenze. L'argomento sarà trattato ampiamente al 4° anno in Elettronica.

Osservazione: il picco di vc si ha sempre all'intersezione con la sollecitazione...

Risposta alla sinusoide con valore medio non nullo

T= 1s

τ=0,1

Dopo un transitorio iniziale la risposta è una sinusoide con la stessa frequenza del segnale di ingresso. Essa è meno attenuata e sfasata rispetto al caso precedente e tende sempre più ad assumere la stessa forma dell'ingresso. Si può concludere che minore è la frequenza più il segnale passa.

La Vr presenta un valore medio nullo, mentre la sinusoide d'ingresso presenta un valore medio pari a 10, uguale al valore medio di Vc: la componente continua passa integralmente.

Con la sovrapposizione degli effetti ( il circuito è lineare) la sollecitazione si può scomporre come somma di una componente continua ed una componente variabile con valore medio nullo: si tratta di due generatori di tensione in serie.L'equazione alla maglia deve essere valida per ogni singola componente.

Risposta alla sinuoide con valore medio non nullo

T=60s

τ=2s

Al diminuire della f ( T aumenta) la Vc si sovrappone sempre di più alla sinusoide d'ingresso. Il segnale passa quasi integralmente.

L'andamento di Vr dimostra che Vc differisce dalla sollecitazione, anche se di poco.

Risoluzione con Scilab

clear;

N=5000; RC=0.1; tmax=10*RC; dt=tmax/N;

t(1)=0; dvc1(1)=0; vc(1)=0; vi(1)=10;

for i=2:N

t(i)=t(i-1)+dt;

vi(i)= 10;

dvc1(i)= (vi(i-1)-vc(i-1))*dt/RC;

vc(i)=vc(i-1)+dvc1(i);

end;

plot(t,vc,t,vi)

set(gca(),"grid",[1 1]) // visualizzo la griglia

clear;

N=1000; RC=0.1; dt=RC*100/N;

vc(1)=0; t(1)=0;

for i=2:N

t(i)= t(i-1) + dt;

vi(i)=squarewave(t(i),20);

vc(i) = vc(i-1)+[(vi(i) - vc(i-1))/RC]*dt;

end;

set(gca(),"grid",[1 1]) // visualizzo la griglia

plot(t,vi,t,vc);

//Risposta all'onda rettangolare di un circuito RC

clear;

P=8; //periodi onda rettangolare

tmax=2*P*%pi;

N=200; //numero punti di rappresentazione

dt=tmax/N; //periodo di campionamento

RC=5;

E=5; //valore medio onda rettangolare

vi(1)=2*E;

vc(1)=0;

t(1)=0;

for i=2:N

t(i)=t(i-1)+dt;

vi(i)=E+E*squarewave(t(i),80)

dvc(i) = (vi(i-1)- vc(i-1))*dt/RC;

vc(i)=vc(i-1)+dvc(i);

end;

plot2d(t,[vc vi])

clear;

N=5000; RC=1; tmax=10*RC; dt=tmax/N;

T=3*RC; w=2*%pi/T; VM=10;

t(1)=0; dvc1(1)=0; vc(1)=0; v(1)=10;

for i=2:N

t(i)=t(i-1)+dt;

v(i)=VM*sin(w*t(i));

dvc1(i)= (v(i-1)-vc(i-1))*dt/RC;

vc(i)=vc(i-1)+dvc1(i);

end;

plot(t,vc,t,v)

//Fourier

clear

P=4;

tmax=2*P*%pi;

N=200; //numero punti di rappresentazione

dt=tmax/N; //periodo di campionamento

VM=10; T=tmax/P; w=2*%pi/T; RC=5; //RC>>T //RC=0.4; RC<<T

v(1)=0; t(1)=0;// impongo la condizione iniziale

for i=2:N

t(i)=t(i-1)+dt;

v(i)=0;

for k=1:2:9

v(i)=v(i)+VM*4/%pi/k*sin(w*k*t(i));

end;

vc(1)=0;

for i=2:N

dvc(i) = (v(i-1)- vc(i-1))*dt/RC;

vc(i)=vc(i-1)+dvc(i);

end;

plot2d(t,[v vc])

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