Condensatori

1) DEFINIZIONE DI CONDENSATORE IN TERMINI DI CARICA ACCUMULATA E TENSIONE AI SUOI CAPI

E' un dispositivo  in grado di accumulare sulle due armature carica elettrica uguale ed opposta, in funzione della tensione ai suoi capi. 

• Si definisce capacità il rapporto C=Q/V e si misura in Farad. 

• Se C è costante il comportamento del dispositivo è lineare: Q=C*V, la carica accumulata è direttamente proporzionale alla tensione.

• La definizione corretta  è data in termini di variazioni finite: C=Δq/Δv.

Qualunque sistema fisico formato da due conduttori separati da un isolante presenta fenomeni capacitivi, in misura dipendente dalle dimensioni, forma e disposizione geometrica dei conduttori e dal tipo di isolante. Il fenomeno può essere desiderato o non desiderato:

• si pensi a più conduttori in una canaletta: si formano diversi condensatori, non voluti e detti parassiti ( in TLC influenzano la trasmissione dei segnali). Lo stesso ai capi di qualunque componente, ad es. un resistore,  e in un modello accurato di un componente bisogna tenerne conto.

• quando invece sono voluti, i condensatori  si usano per la loro proprietà di accumulo energetico (per restituire al bisogno la carica accumulata) e per la possibilità di elaborare  i segnali grazie alla legge matematica tra tensione e corrente che li caratterizza.

Nelle applicazioni elettroniche vengono usati in genere condensatori con capacità molto piccole (dai pico ai milli farad). Ultimamente si realizzano supercondensatori con capacità ben oltre il Farad e ottimo rapporto capacità/volume: sono utilizzati in applicazioni portatili e nei veicoli ibridi grazie alla loro alta velocità di carica. Possono inoltre essere applicati come backup alle batterie primarie per garantire una corrente elettrica costante.

Esistono sistemi fisici che presentano effetti capacitivi non lineari: ad es i diodi polarizzati inversamente si comportano da buoni isolanti (non facendo scorrere corrente) e presentano al loro interno distribuzioni di cariche elettriche uguali ed opposte: il valore della capacità non e' costante variando con la tensione inversa applicata.

2) CONDENSATORE PIANO

E' la struttura più semplice ed è formato da due superfici S piane e parallele, distanti d.

Risulta C = ε *S/d     con ε costante dielettrica dell'isolante ( legata alla costante della forza di Coulomb  K= 1/ 4πε).

Il campo elettrico interno risulta uniforme, tranne sui bordi.

Faraday scoprì che C dipende dal materiale isolante inserito tra le armature. Le caratteristiche dielettriche di un isolante dipendono dalla presenza di molecole che in presenza di campo elettrico si orientano (ruotano e si allineano) perchè si polarizzano o sono già polarizzate; in tal modo si genera un campo interno, opposto a quello esterno, che provoca un aumento di C=Q/V:

• a parità di carica il campo totale interno si abbassa, insieme alla tensione V e quindi C aumenta. ES. Si consideri un C in aria caricato alla carica Q con tensione V; isolare il condensatore staccando i suoi terminali dal resto del circuito. La sua carica può variare? Inserendo al suo interno un dielettrico la carica e la tensione cambiano?

• a parità di tensione V la carica Q sulle armature è maggiore perchè deve compensare la carica indotta interna. ES. Si consideri un C in aria collegato con un generatore di tensione V; accumulerà una carica Q. Mantenendo collegato il generatore (a parità di tensione) e Inserendo al suo interno un dielettrico la carica cambia?

Risulta ε  = ε0 * εr 

con  εr  = C/C0 costante dielettrica relativa: basta fare il rapporto tra le capacità con e senza dielettrico inserito.

Il materiale interno, oltre ad una funzione meccanica di separazione tra le armature, determina pesantemente le caratteristiche del condensatore:

• come dielettrico influenza il valore della capacità, anche migliaia di volte in più.

• come isolante è importante la sua rigidità, che influenza la massima tensione applicabile,  la corrente dispersa e tutta una serie di caratteristiche (stabilità con la temperatura, comportamento in  frequenza, rapporto capacità volume, tolleranza dei valori.. TPSE ) che alla fine determina il campo di impiego e il costo del componente.

In definitiva la capacità dipende dalle caratteristiche geometriche dei conduttori (dimensioni, forma e disposizione) e dalle caratteristiche  del materiale interno come dielettrico ed isolante. Per ottenere grandi capacità è necessario ricorrere a superfici grandi poste a piccola distanza ed utilizzare materiali con elevata costante dielettrica.

3) LEGGE LINEARE IN TERMINI DI DIFFERENZE FINITE

Un condensatore scarico inserito in un circuito si carica gradualmente: per ogni carica che arriva su un'armatura, una carica uguale si allontana dall'altra; questo permette la circolazione della corrente nel ramo che contiene il condensatore, mentre la tensione ai suoi capi varia.

Quindi tensione e corrente, durante la carica, variano nel tempo (per esprimere le grandezze che variano nel tempo si usano le lettere minuscole)

Per  ricavare il legame matematico tra gli andamenti temporali, la legge  C=Q/V non è valida  ed è necessario considerare una definizione più generale data in termini di variazioni finite: C=Δq/Δv

E' come il calcolo della velocità: posso usare v=s/t e calcolo la velocità media, ma in realtà la legge è v(t)=Δs/Δt e al diminuire di  Δt, v(t) approssima sempre meglio il valore istantaneo della velocità.

Si sostituisce  Δq= C*Δv nell'espressione della corrente  i=Δq/Δt e si ottiene:

  i=C*Δv/Δt

Questa legge è molto diversa dalla legge di Ohm: nel condensatore la corrente circola solo quando la tensione varia nel tempo (quindi varia la carica).

• Se la tensione è costante nel tempo, variazione nulla Δv=0, la corrente è nulla.

• se la carica avviene a corrente costante, tramite ad es. un generatore di corrente costante, risulta Δv/Δt = costante, proprietà tipica delle rette: quindi la tensione varia linearmente  rispetto al tempo. 

Invece nel resistore se la tensione è costante ( o variabile)  la corrente è costante ( o variabile) secondo la legge di proporzionalità diretta.

L'alternativa alle variazioni finite è l'analisi infinitesimale in cui l'intervallo temporale si fa tendere a zero; lo studio cambia radicalmente e implica la conoscenza della derivata, dell'integrale e delle relative equazioni integro differenziali.

4) ENERGIA ACCUMULATA IN FUNZIONE DELLA TENSIONE, VARIABILE DI STATO, CONTINUITA' DELLA TENSIONE, TRANSITORIO, REGIME

L'accumulo di carica elettrica è necessariamente legata ad un accumulo di energia: infatti un condensatore carico è in grado di restituire la sua energia accumulata facendo circolare corrente nel circuito in cui è inserito.

Si dimostra che l'energia accumulata da un condensatore vale: E = 1/2*C*V2. 

Questo significa che l'energia accumulata dipende esclusivamente dalla tensione ai capi del condensatore, e si parla di tensione come  variabile di stato, perchè rappresenta la condizione, lo stato di carica, in cui si trova il condensatore.

Potenza finita e continuità della tensione.

In Fisica l'energia è legata alla potenza dalla relazione: P = ΔE/Δt. 

Dalla formula si deduce che non è possibile una ΔE finita in un intervallo Δt nullo: questo implicherebbe potenza infinita. 

Questo risultato è intuibile osservando che l'evoluzione di tutti i fenomeni energetici ha bisogno di tempo: non è possibile riempire una cisterna in un tempo nullo! Un'auto, per quanto potente, non può raggiungere istantaneamente una prefissata velocità. Quindi una variazione di energia avviene in un intervallo di tempo finito ed avviene gradualmente (non a scatti).

Nel condensatore l'energia accumulata è associata alla carica accumulata e questa alla tensione: quindi  la tensione ai capi di un condensatore non può subire brusche variazioni: si dice che varia con continuità. 

Alimentando un circuito  improvvisamente, chiudendo un tasto o applicando un gradino di tensione, il condensatore non si può caricare immediatamente; quindi la sua tensione varia gradualmente, transitorio,  fino al raggiungimento di una condizione stabile nel tempo, regime.

Variazione della tensione per una resistenza.

Questo non vale per un resistore che non presenta fenomeni di accumulo energetico e quindi per V e I non ci sono vincoli; ad es. in un circuito puramente resistivo alla chiusura di un tasto, V e I assumono immediatamente il valore finale senza transitori dovuti a fenomeni energetici.

5) DISCUSSIONE QUALITATIVA SULLA CARICA DI UN CIRCUITO RC, ESPONENZIALE, COSTANTE DI TEMPO

Si consideri il circuito RC serie alimentato, attraverso un interruttore, da un generatore di tensione costante. 

Il modello matematico del circuito è formato da 3 relazioni:

• l'equazione alla maglia: E = vR+ vC;   vR = E - vC (*)

• legge di Ohm:  i = vR / R (**)

• equazione costitutiva del condensatore: Δq= C*Δ vC (***)

Consideriamo incrementi temporali costanti.

• Prima della chiusura del tasto supponiamo il condensatore scarico, vC(0)=0; 

• immediatamente dopo la chiusura il condensatore non ha avuto il tempo per caricarsi e la sua tensione rimane nulla;

• quindi vR=E+0=E (*); i=E/R. (**)

• Circolando corrente il C si carica,  q aumenta e  vC aumenta  (***)

• Quindi vR diminuisce (*), e così anche i.

• Circola sempre corrente ma in misura inferiore; il C si carica, ma di meno (con una pendenza inferiore) e  vC incrementa meno.

• Più vC aumenta, meno corrente circola e più lentamente aumenta vC.

• vC si avvicina sempre di più ad E e quando, idealmente, vC =E, vR=0 (*), i=0  (**), il condensatore non si può più caricare e il processo di carica,  transistorio, si arresta pervenendo ad una condizione di regime.

Si conclude affermando che a regime, per tempi molto lunghi, il condensatore è un circuito  aperto.

ANALISI DI CIRCUITI PIU' COMPLESSI

L'analisi svolta è generalizzabile per qualunque circuito resistivo (più resistenze) con un solo condensatore, alimentato da generatori costanti e sottoposto a gradini dei generatori o tasti che modificano improvvisamente il circuito.

La determinazione della tensione ai capi del C è obbligatoria in quanto variabile di stato.

Si può dimostrare che l'andamento temporale è un esponenziale:  

vC(t)= vCf - ( vCf - vCi )*e -t/τ  

con:

• vCi = tensione prima del cambiamento e che si conserva subito dopo

• vCf = tensione equivalente di Thévenin a regime vista dal condensatore (considerato un c.a.)

• τ = C*Req  costante di tempo del circuito

• Req resistenza equivalente  vista dal condensatore

Tutte le altre variabili si evolvono con lo stesso tipo di legge considerando che possono subire brusche variazioni in seguito al cambiamento iniziale.

6) SCARICA DEL CONDENSATORE

ES.

Si consideri un circuito formato da un C carico che, nell'istante iniziale, si chiude su una resistenza.

Scrivere le equazioni che descrivono il sistema e descrivere l'evoluzione temporale delle variabili.

7) RISOLUZIONE DI CIRCUITI CON CONDENSATORI A REGIME

Abbiamo visto che  a regime, per tempi molto lunghi, il condensatore è un circuito  aperto. L'analisi risulta quindi molto agevole.

9) SERIE E PARALLELO

La connessione serie assicura la stessa carica accumulata Q, quella parallelo la stessa tensione V.

Per il calcolo della capacità equivalente si procede come per le resistenze, considerando però la relazione Q= C*V.

Es. Calcolare il condensatore equivalente tra due condensatori serie; risulta Ceq= C1*C2  / (C1 + C2)

Es. Calcolare il condensatore equivalente tra due condensatori parallelo; risulta Ceq= C1  + C2  

Es. Un condensatore da 120nF ha un terminale  collegato al riferimento e l'altro terminale aperto; la tensione ai suoi capi risulta 5V. Momentaneamente  gli viene collegato in parallelo (touch parassita) un condensatore scarico da 100nF. Quanto vale la nuova tensione ai capi del parallelo?  Dopo il distacco la tensione ritorna al valore iniziale?

Es. La serie tra due condensatori da 100nF e 470nF è sottoposta ad una tensione totale di 5V, Calcolare la tensione ai capi dei singoli condensatori (partitore capacitivo)

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Condensatori reali