Risposte Sistemi di controllo

DISTILLATO SISTEMI DI CONTROLLO (SdC ) LINEARI A TEMPO CONTINUO

1. Sistema di Controllo automatico

• Sistema: insieme di componenti, interagenti fra loro al fine di ottenere un obiettivo prefissato: un motore, un impianto industriale, una funzione biologica come il battito cardiaco. Gli elementi sono accomunati da grandezze fisiche che possono variare nel tempo secondo una legge. Alcune grandezze sono considerate ingressi poichè dall'esterno si può intervenire su di esse, altre dette di uscita, sono di particolare interesse e dipendono dagli ingressi.

• Controllo: il controllo di un sistema ha come obiettivo quello di ottenere in uscita gli andamenti temporali desiderati e stabiliti dalle variabili di ingresso. Il tutto nonostante i disturbi, influenze prevedibili e non prevedibili dell’ambiente circostante e del sistema stesso.

• automatico: il controllo deve avvenire senza l’intervento dell’uomo

2. SdC a catena aperta.

• Le grandezze di uscita non sono monitorate (a parte dall'operatore). Questo può avvenire quando le specifiche consentono margini di variazione ampi o non stringenti, o quando gli effetti dei disturbi sono trascurabili.

• E’ possibile anche monitorare i disturbi stessi ed intervenire in anticipo per non avere effetti sull’uscita (feed-forward)

3. SdC a catena chiusa; variabili interessate

• Reazionare un sistema: riportare l’uscita in ingresso. Si forma un anello e quindi si parla di sistemi ad anello aperto, non reazionati, e ad anello chiuso, reazionati.

• Si distingue un ramo diretto, con FdT G(s), dall'ingresso verso l'uscita ed un ramo di reazione, con FdT H(s), dall'uscita verso l'ingresso del sistema; si parla anche di catena diretta e catena di reazione.

• Alle variabili di ingresso, di uscita e ai disturbi si aggiunge il segnale di reazione R: valore dell’uscita trattato opportunamente per essere confrontabile con l’ingresso.

• L’uscita U viene misurata continuamente e, dopo un’opportuna conversione tramite H, è confrontata con il valore di ingresso I. Quindi viene generato un segnale detto di errore E=I-R che, applicato al sistema di regolazione (che fa parte della catena diretta), deve fare in modo che l'uscita assuma il valore desiderato.

• Si suppone idealmente che i blocchi siano:

  • non interagenti ( la FdT di un blocco non cambia dopo il collegamento ad un altro blocco). Questa condizione è assicurata, per segnali elettrici espressi in tensione, dalla resistenza di ingresso infinita del blocco in cascata successivo o dalla resistenza di uscita nulla del blocco precedente. In definitiva la presenza di operazionali consente un buon disaccoppiamento. Generalmente due blocchi passivi interagiscono.

  • unidirezionali: un segnale applicato in ingresso influenza l'uscita ma non viceversa. I blocchi passivi difficilmente soddisfano tale ipotesi mentre i blocchi attivi più facilmente (hre =0 nei BJT). Graficamente i rami orientati indicano il verso di percorrenza dei segnali.

• In genere G contiene regolatori (decidono come l'errore deve influenzare il sistema), amplificatori (per comandare gli organi di regolazione), attuatori (organi di regolazione) e il sistema da controllare, mentre H è costituito da componenti passivi e/o da trasduttori con relativi circuiti di condizionamento ed acquisizione.

4. Reazione positiva e negativa: effetti sull’uscita

• Reazione negativa: in seguito alla chiusura dell’anello, rispetto alla configurazione ad anello aperto e a parità di I, l’uscita diminuisce. Inoltre l’uscita subisce un’azione stabilizzante: se, per effetto di un disturbo, U tende ad aumentare, anche R aumenta ed E=I-R diminuisce; questo si oppone all’iniziale aumento di U contro l’azione del disturbo (si parla di sistemi controreazionati).

  • Es. confronto tra rete di polarizzazione con corrente di base costante a 2 resistenze e rete di polarizzazione automatica a 3 resistenze

  • La diminuzione dell’uscita può non essere un problema perchè si può aumentare G (utilizzando amplificatori) in modo tale che U mantenga il valore desiderato; oppure, tramite preamplificatori, si possono applicare segnali di ingresso più ampi.

  • Se U raggiunge il valore desiderato, corrispondente ad I, risulta E=0. In altre parole se l'uscita assume il valore desiderato (set-point), R e I coincidono. Questo risultato è da collegare al cortocircuito virtuale degli amplificatori operazionali reazionati negativamente e in funzionamento lineare.

• Reazione positiva: in seguito alla chiusura dell’anello, rispetto alla configurazione ad anello aperto, l’uscita aumenta. Tale aumento, riportato in ingresso, fa assumere rapidamente all'uscita, anche in assenza di disturbi, i valori massimi o minimi consentiti (saturazione). Il funzionamento non è lineare e l’uscita può assumere solo due stati: il minimo o il massimo consentiti. Questo tipo di reazione quindi non è adatta ai sistemi di controllo che stiamo trattando.

Es. Valutare il tipo di reazione di un amplificatore OP in schema non invertente

5. Regolatori, servosistemi e servomeccanismi

• Regolatori: l’ ingresso è costante e il SdC deve agire per mantenere costante l'uscita

• Servosistemi: l’ingresso è variabile secondo desiderate leggi e l‘uscita deve seguirne proporzionalmente l’andamento

• Servomeccanismi: sono servosistemi con grandezza di uscita meccanica (posizione, velocità, accelerazione).

6. Determinazione della FDT del sistema reazionato

Determinare la FdT ad anello chiuso W(s).

W=U/I;

G=U/E ; E=I-R; H=R/U ;

U=G*E; U= G (I-R); U= G (I-HU); U= GI-GHU; GHU+U=GI; U(1+GH)=GI; U/I= G/(1+GH)=W

9. SdC a reazione unitaria

Il sistema reazionato nella forma originaria si può studiare più semplicemente con un diverso sistema reazionato: sul ramo diretto si inserisce il guadagno di anello mentre il ramo di reazione è costituito da un semplice collegamento (in un blocco unitario l'uscita è uguale all'ingresso, R=U). Risulta W=GH/(1+GH).

Per ottenere la forma originaria, basta moltiplicare la fdt a reazione unitaria per 1/H.

Quindi il sistema in retroazione unitaria ha le stesse caratteristiche del sistema originario se la moltiplicazione per 1/H non comporta alterazioni.

10. Effetti della reazione negativa su un sistema del 1° ordine.

Si consideri un sistema GH, costituito da un polo p reale e negativo e da un guadagno statico K (ottenuto per s=0). Sottoposto a reazione unitaria, a conclusione dello studio, si riportano le conclusioni:

• • il sistema reazionato rimane del 1° ordine ( del resto non sono stati inseriti nuovi componenti reattivi)

  • la costante di tempo va divisa per il termine (K+1) e quindi il polo aumenta secondo il fattore (K+1), rendendo il sistema più veloce.

  • il guadagno statico va diviso per il termine (K+1) e quindi diminuisce, come prevedibile dalla discussione precedente.

Quindi il sistema, dopo che è stato reazionato, raggiunge la condizione di regime in un tempo minore (migliorando le caratteristiche dinamiche) a scapito dell'ampiezza del valore di regime ( che diminuisce).

11. Esempi di sistemi reazionati

Scaldabagno elettrico come sistema di regolazione ON-OFF. Il sistema presenta l'inconveniente che l'uscita è costretta a percorrere continuamente tutta la sua dinamica (campo di valori consentiti), assumendo quindi un andamento forzatamente oscillatorio. Riducendo la dinamica si aumenta la frequenza di ripetizione del ciclo.

Il regolatore di livello; errore di offset e oscillazione (pendolamento)

• • Si tratta di un recipiente per liquidi con ingresso, uscita e un rudimentale SdC costituito da una valvola in ingresso comandata da un galleggiante. Si consideri come uscita l’altezza del liquido. Quando il flusso in ingresso è uguale al flusso in uscita si raggiunge una posizione di equilibrio stabile detta set point. Il sistema evita il problema precedente sull'andamento oscillatorio obbligatorio su tutta la dinamica di uscita. Sorgono tuttavia altre problematiche.

  • Il SdC, in presenza di disturbi costanti o nuove condizioni di lavoro, non riesce a stabilizzarsi sulla stesso set point, e si dice che presenta un errore di offset. Supponiamo che a regime ed in assenza di disturbi l’uscita sia stabile sul valore di set point. Applichiamo un disturbo costante, ostacolando leggermente l’uscita. Il livello sale e l’intervento del galleggiante provoca una relativa chiusura della valvola. Quando la portata in ingresso, diminuendo, si adegua alla portata in uscita, il sistema si porta ad una nuova condizione di equilibrio che non coincide con la precedente. Il sistema può essere in grado di autostabilizzarsi, ma non alla stessa altezza e si dice che presenta un errore di offset. Questo offset è dovuto al semplice legame matematico, proporzionale o più in generale monotono, tra l'errore e l'intervento del regolatore.

  • Inoltre il SdC può entrare in oscillazione (pendolamento), come nel sistema on-off precedente. Se il tempo di intervento dell’organo finale della correzione (tempo morto) è eccessivo, l’errore diventa elevato e se l’organo finale è molto sensibile (cioè l’intervento del controllo è esagerato) la valvola viene chiusa in ritardo ed eccessivamente; quindi il livello torna a scendere per poi successivamente salire. La risposta del sistema è in tal caso oscillatoria, cosa poco gradita (basta la più semplice regolazione on-off).

Azioni di controllo per l'attracco di una imbarcazione.

Ad un'azione di avvicinamento alla banchina deve seguire un'azione di allontanamento, opportunamente valutata nel tempo e nell'intensita' in funzione della distanza raggiunta (che rappresenta l'errore) ...

Con questi esempi si comprende quanto sia importante la valutazione dell'errore e la scelta della legge matematica della regolazione.

12.Caratteristiche dinamiche di W

Sono rappresentate dai tempi di risposta e dipendono dal valore (posizione sul piano s) dei poli. Studieremo che questa posizione dipende anche da K ed è opportuno scegliere K non troppo alto. In fase di progettazione si applica un fattore di smorzamento pari a 0,7 (che si traduce in un margine di fase pari a 60°).

13. Caratteristiche statiche di W. Errore a regime

Sono rappresentate dall'errore a regime, differenza tra il valore desiderato (ingresso) e il valore effettivo dell'uscita (considerare la reazione unitaria) dopo che i fenomeni transitori si sono esauriti. Bisogna calcolare il limite dell'errore e(t) per t tendente ad infinito. Questo limite, per il teorema del valore finale, si traduce nel dominio di s, nel più semplice lim_s→0s*E(s), evitando l'antitrasformazione.

• • Considerando la reazione unitaria, il valore dell'errore è dato dalla differenza tra l’ingresso I e l’uscita U.

E(s)= I(s)-U(s); E(s)=I(s)-GH(s)E(s); E(s)=I(s)/(1+GH(s)).

Bisogna calcolare il valore a regime dell'errore: e(∞)=lim_s→0 s*I(s)*1/((1+GH(s))

• • Quindi l'errore a regime dipende dal sistema ad anello aperto GH(s) e dal particolare ingresso applicato I(s)

  • Non si può far altro che ricavare l’errore per particolari ingressi di prova; dalla terminologia dei servomeccanismi si ha:

• • • se l'ingresso è la parabola, I(s) = 1/s³, si ottiene l'errore di accelerazione

• • Il calcolo del limite dipende dalla eventuale presenza di poli nulli che fanno tendere GH(s) ad infinito (non si studia il caso poco pratico di zeri nulli) in quanto tutti gli altri fattori (poli e zeri non nulli) tendono ad un valore finito.

  • Si indica con GH₀ il limite per s che tende a zero del guadagno di anello senza gli eventuali poli nulli.

In base al numero di poli nulli, i sistemi si distinguono in:

• • • sistemi di tipo 0, con 0 poli nulli; risulta lim_s→0 GH(s) = GH₀

    • sistemi di tipo 1, con 1 polo nullo; risulta lim_s→0 GH(s) = lim_s→0 GH₀ / s

    • sistemi di tipo 2, con 2 poli nulli; risulta lim_s→0 GH(s) = lim_s→0 GH₀ / s²

• • In definitiva l’errore E (caratteristica del sistema ad anello chiuso) dipende dai poli nulli e dal guadagno statico di GH (sistema ad anello aperto) e dal particolare ingresso. Quindi bisogna studiare ognuno dei tre tipi di sistema nei tre casi di ingressi tipici ( 9 casi in totale).

  • Per valutare la bontà del sistema in funzione dell'errore a regime si consideri che nel caso ottimale si vuole errore nullo; si può tollerare un errore finito, magari cercando di limitarlo; non è possibile utilizzare il sistema se l'errore è infinito in quanto al trascorrere del tempo l'uscita divergerà sempre di più rispetto al valore desiderato.

14. Sistemi di tipo 0

• • L'errore di posizione è finito e vale 1/(1+GH₀). Infatti lim_s→0 s*1/s*1/(1+GH₀). Questo errore si può diminuire aumentando GH₀, ma non eliminare.

  • L'errore di posizione è finito e vale 1/(1+GH₀). Infatti lim_s→0 s*1/s*1/(1+GH₀). Questo errore si può diminuire aumentando GH₀, ma non eliminare.

  • Gli errori di velocità ed accelerazione sono infiniti

  • Al sistema quindi si può applicare solo il gradino e quindi si può usare solo come regolatore. L’andamento temporale dell’uscita a regime è un gradino che si discosta di una quantità costante dal gradino desiderato. Applicando una rampa si avrà in uscita una rampa di pendenza diversa e quindi un errore che tende ad infinito

15. Sistemi di tipo 1

• L’errore di posizione è nullo lim_s→0 s*1/s*1/(1+GH₀/s)

• L’errore di velocità è finito e vale 1/GH₀

• L’errore di accelerazione è infinito

• Il sistema quindi è un ottimo regolatore. Applicando una rampa in ingresso, la rampa di uscita se ne discosta di una quantità costante (immagina due rampe con la stessa pendenza ma traslate).

16. Sistemi di tipo 2

• L’errore di posizione è nullo. lim_s→0 s*1/s*1/(1+GH₀/s2)

• L’errore di velocità è nullo

• L’errore di accelerazione è finito e vale 1/GH₀

• Il sistema quindi è un buon servosistema

Si conclude affermando che:

l'errore a regime del sistema ad anello chiuso diminuisce, o in altri termini la precisione aumenta, all'aumentare del tipo di sistema e/o all'aumentare del guadagno statico di GH. E' possibile aggiungere in cascata a G un blocco, detto regolatore, con uno o due poli nulli, per aumentare il tipo di sistema, e/o un blocco amplificatore per aumentare il guadagno statico. Queste soluzioni devono essere valutate attentamente perchè influenzano altre caratteristiche del sistema, in particolare la stabilità, come vedremo in seguito.

ES.

Dati: G(s) = K/(s+2); H(s)= 1/s(s+100); l'ingresso sia una rampa unitaria

Ricavare K in modo che l'errore di velocità sia 0,5

17. Vantaggio della reazione negativa: immunità ai disturbi additivi.

I disturbi additivi sono segnali non prevedibili e indesiderati di origine esterna e/o interna. Un buon sistema di controllo minimizza l'effetto dei disturbi sull'uscita. Per valutare tali effetti si considererà solo il valore a regime e non gli effetti transitori.

• Occupandoci di sistemi lineari vale la sovrapposizione degli effetti: si annulla l'ingresso e si applica il disturbo, simulato ad es. da un gradino, per ricavare il suo effetto sull'uscita.

• Bisogna studiare il sistema con ingresso nullo (quindi H direttamente applicato a G, considerando l'inversione dovuta al blocco comparatore); dove agisce il disturbo bisogna inserire un nodo sommatore ed applicare un gradino, ricavare l'uscita, applicare il teorema del valore finale per ricavare il valore di regime dell'uscita.

• Il disturbo agisce direttamente sull'uscita. In assenza di reazione il disturbo si somma immutato sull'uscita; invece in presenza di reazione e con sistema di tipo zero, l'ampiezza del disturbo è ridotta del fattore 1+GH₀ con evidente vantaggio. Quindi l'effetto del disturbo si può diminuire aumentando GH₀, ma non eliminare. Se il sistema è di tipo maggiore gli effetti del disturbo (gradino) sull'uscita sono nulli.

• Se il disturbo agisce all'interno della catena diretta, il fattore con il quale il sistema reazionato ne riduce gli effetti sull'uscita dipende dal valore del guadagno degli stadi in catena diretta che precedono il disturbo.

• Quando il disturbo agisce direttamente sull'ingresso esso subisce le stesse sorti del segnale e non si può avere un miglioramento nel rapporto S/N. Si osserva quindi che gli stadi iniziali devono essere poco rumorosi perchè la reazione negativa non riesce ad attenuare i disturbi. Simile conclusione vale per gli stadi sulla catena di reazione.

• Anche la distorsione di non linearità può essere considerata un disturbo introdotto dal sistema stesso; quindi le armoniche generate da non linearità, grazie alla reazione negativa, subiscono una attenuazione.

• Per una significativa valutazione di quanto la reazione negativa riduca gli effetti dei disturbi sull'uscita, bisognerebbe confrontare i rapporti segnale rumore (S/N) dei due sistemi, reazionato e ad anello aperto, a parità di ampiezza del segnale utile in uscita. Ad es. nel caso di disturbo agente direttamente sull'uscita effettivamente il S/N migliora:

  • per il sistema reazionato si ha U=I*G/(1+GH) + D/(1+GH); quindi S=I*G/(1+GH) e N=D/(1+GH); risulta: S/N=IG/D

  • per il sistema non reazionato si ha U=I*G + D; quindi S=I*G e N=D; risulta: S/N=IG/D

  • sembra che il S/N non vari. In realtà i due sistemi non sono confrontabili perchè i livelli delle uscite sono diversi: che senso ha confrontare due amplificatori a volume diverso? Per effettuare il confronto a parità di segnale di uscita, al sistema reazionato, che presenta una uscita ridotta del fattore 1+GH, bisogna applicare un ingresso amplificato dello stesso fattore 1+GH ed quindi per il sistema reazionato risulta: U=I(1+GH)*G/(1+GH) + D/(1+GH); quindi S=I*G e N=D/(1+GH); risulta: S/N=IG/D/(1+GH) con evidente miglioramento.

18. Vantaggio della reazione negativa: immunità alle variazioni parametriche

I parametri del sistema, come i valori delle resistenze, capacità, ecc.. possono variare per diversi motivi quali la temperatura, l’invecchiamento, ecc.

• Variazioni parametriche comportano variazioni relative di G (ΔG/G) e di H (ΔH/H). Si pone il problema di valutare le corrispondenti variazioni relative di W. Per un sistema non reazionato la variazione parametrica si trasmette integralmente sulla variazione relativa della funzione.

• Per un sistema reazionato negativamente con H costante e G variabile, la variazione relativa di G comporta una variazione relativa di W attenuata del fattore 1/(1+G(s)*H). Questo rappresenta un notevole vantaggio dei sistemi reazionati negativamente.

• Per un sistema reazionato negativamente con H variabile e G costante, la variazione relativa di H si trasmette integralmente su W. Quindi è necessaria molta cura nella scelta dei parametri di H.