Queste risposte riassumono gli argomenti e si rimanda ad uno studio più accurato sul libro di testo.
Si indica con GH la funzione di trasferimento (FdT) ad anello aperto e con W la FdT ad anello chiuso.
1. Definizione di Stabilità nel dominio del tempo
Qualitativamente un sistema è stabile se la risposta a segnali limitati (in ampiezza) non diverge.
In altri termini per verificare se un qualunque sistema è stabile, lo sollecitiamo (ovviamente con un segnale limitato in ampiezza!) e osserviamo la risposta: se tale risposta è limitata il sistema è stabile, se la risposta assume con il passare del tempo valori sempre più ampi allora il sistema è instabile.
Per i sistemi lineari e tempo invarianti, descritti dalla FdT, per studiare la stabilità del sistema basta studiare la risposta all'impulso, segnale limitato che torna a zero; per ricavarne la risposta basta antitrasformare la FdT.
Ci sono due possibili forme di stabilità a cui corrispondono due definizioni; infatti posto il sistema in una condizione di regime, applicando un impulso e trascorso il transitorio, il sistema può:
a) assumere una nuova condizione di regime
b) ritornare nella condizione di regime precedente.
a) Stabilità ingresso limitato - uscita limitata. Un sistema dinamico si dice BIBO stabile (bounded input - bounded output), o ILUL stabile (ingresso limitato - uscita limitata), se ad ogni segnale di ingresso di ampiezza limitata corrisponde un’uscita anch’essa di ampiezza limitata (in qualunque istante). Affinchè questo si verifichi i poli della FdT devono avere parte reale non positiva e gli eventuali poli a parte reale nulla, reali o complessi e coniugati, devono essere semplici.
Ad es. una fdt formata da un polo nullo doppio ha come risposta impulsiva una rampa e il sistema è instabile!
Invece se la fdt ha un polo semplice la risposta impulsiva è un gradino: quindi il sistema da una condizione stabile, precedente l'impulso, passa ad un'altra condizione stabile data dal valore finale del gradino.
b) Stabilità asintotica. Un sistema è stabile asintoticamente se è BIBO stabile ed inoltre la risposta all'impulso tende a zero (l'uscita, dopo l'applicazione dell'impulso, ritorna nella condizione di regime iniziale). Affinchè questo si verifichi tutti i poli devono avere parte reale negativa.
Riassumendo, in base ai poli della FdT, ci sono 3 casi:
se ci sono poli con parte reale positiva o poli a parte reale nulla con molteplicità maggiore di uno, il sistema è instabile.
se, oltre ai poli con parte reale negativa, ci sono poli a parte reale nulla semplici il sistema è di tipo BIBO
se i poli sono soltanto a parte reale negativa il sistema è asintoticamente stabile.
2. Equazione caratteristica
Per ricavare i poli di W bisogna ricavare le radici del suo denominatore.
Quindi bisogna risolvere l’equazione 1+GH=0, detta equazione caratteristica.
Questa si può esprimere anche come 1+N/D=0; e quindi D+N=0; con N e D polinomi al numeratore e denominatore di GH.
Il problema della ricerca delle radici si può risolvere con diversi metodi matematici e spesso può risultare complesso se non si usano programmi dedicati. Esistono in alternativa metodi grafici che consentono di valutare, oltre alla stabilità, altri aspetti quali, ad es, la robustezza della stabilità (margini di stabilità).
3. Diagramma di Nyquist di una fdt G(s)
E’ la curva sul piano complesso di G(jω) ottenuta per ω variabile da −∞ a +∞. Il piano complesso presenta sull’asse delle ascisse Re[G(jω)] e sull’asse delle ordinate Im[G(jω)]. Ad ogni punto della curva è associato un valore di ω, una coppia (Re
[G(jω)] ; Im[G(jω)] ) e una coppia (modulo[G(jω)] ; fase[G(jω)] )
Si traccia per valori di ω≥0, mentre per ω≤0 il diagramma si ottiene per simmetria rispetto all’asse reale: Re[G(jω)]=Re[G(-jω)] e Im[G(jω)]=-Im[G(-jω)]
Si può costruire qualitativamente a partire:
dalla forma fattorizzata di G(jω), ricavando il modulo e la fase nei casi estremi per ω tendente a zero ed infinito e aiutandosi con i diagrammi di Bode
dalle espressioni di Im[G(jω)] e Re[G(jω)] facendo variare ω; questo metodo, più difficile, è consigliato nel caso di poli a parte reale positiva perchè la periodicità della funzione tangente può creare confusione.
Non ci sono regole generali come nel caso dei diagrammi di Bode
4. Criterio di stabilità di Nyquist ( Harry Theodor Nyquist, 1889 – 1976, fu un fisico statunitense di origine svedese. )
Il criterio di stabilità di Nyquist consente di determinare la stabilità della fdt ad anello chiuso W, rappresentando semplicemente il diagramma di Nyquist della fdt ad anello aperto GH.
Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità del sistema ad anello chiuso è che per la fdt ad anello aperto GH risulti: N=P con
N numero di giri in senso antiorario intorno al punto -1+j0 (di GH)
-N numero di giri in senso orario intorno al punto -1+j0 (di GH)
P numero di poli a parte reale positiva (di GH)
Si possono verificare i seguenti casi:
P=0 quindi GH è stabile. Affinchè anche W sia stabile deve risultare N=0, cioè il diagramma non deve circondare il punto caratteristico. Questo è il criterio di Nyquist ristretto.
P≠0 quindi GH è instabile. Affinchè W sia stabile N deve risultare pari a P
Rotazioni orarie rendono il sistema ad anello chiuso instabile ( la condizione N=P non si può ottenere)
Rotazioni antiorarie neutralizzano eventuali instabilità ad anello aperto.
In una definizione più generale del criterio si considerano anche gli eventuali zeri a parte reale positiva di GH: per la stabilità di W si ha N=P-Z. Tuttavia deve risultare Z=0 in quanto gli zeri della funzione caratteristica, 1+GH, sono poli di W. Si osserva che in pratica il criterio di Nyquist studia la funzione caratteristica il cui diagramma è semplicemente traslato orizzontalmente di 1 rispetto al diagramma di GH.
5. Discussione sulla stabilità al variare del guadagno di anello.
Dalla rappresentazione dei diagrammi di Nyquist con tre poli si osserva che all’aumentare del guadagno K la curva finisce per circondare il punto caratteristico. Quindi l’aumento del guadagno ha un effetto destabilizzante. Si pone il problema di valutare i campi di valore di K che rendono stabile il sistema.
6. Pulsazioni di attraversamento
ω0dB pulsazione alla quale il modulo è unitario (0dB)
ω-180° pulsazione alla quale la fase vale -180
7. Margini di stabilità
Margine di fase: è il massimo sfasamento negativo che è possibile introdurre nell’anello, alla pulsazione ω0dB, conservando la stabilità.MF = 180 + arg GH(jω0dB) Se MF >0 il ristema è stabile.
Margine di guadagno: è il massimo fattore di amplificazione di GH che conserva la stabilità di W, alla pulsazione ω-180°.
MG = 1/|GH(jω-180°)|; se MG>1 (MGdb >0) il sistema è stabile. In genere si esprime in dB
E' facile osservare che sistemi con lo stesso MG possono avere MF completamente diversi e quindi comportamenti diversi. E’ necessario allora calcolare entrambi i margini
I margini di stabilità forniscono una misura della robustezza della stabilità del sistema ad anello chiuso rispetto a perturbazioni del modulo e della fase (applicate separatamente) del guadagno d’anello. Manuali e libri di testo riportano valori numerici di almeno 40° e 6dB per una buona stabilità. Esistono tuttavia altri metodi e parametri che valutano la robustezza della stabilità.
8. Lettura dei margini sui diagrammi di Nyquist e Bode
9. Criterio di Bode (Hendrik Wade Bode, 1905 – 1982, è stato un ingegnere statunitense)
Vale per i sistemi a fase minima (Z=0 e P=0).
Il criterio di Bode afferma che W è stabile se i margini di stabilità sono positivi.
Attraverso i diagrammi di Bode di GH la determinazione di ω0dB , ω-180°, MG ed MF risulta più agevole.
Se il diagramma del modulo è sempre positivo il sistema è mal posto in quanto fisicamente irrealizzabile.
Se è sempre negativo W è stabile.
Una caratteristica dei diagrammi di Bode, utile in alcuni casi di progettazione, è che al variare del guadagno K il diagramma delle fasi non varia mentre il diagramma del modulo trasla in verticale.
10. Criterio di Bode approssimato
Valuta la stabilità di W considerando solo la pendenza del modulo di GH in corrispondenza di ω0dB. Si basa su una relazione, approssimata, tra la pendenza della curva del modulo e il corrispondente sfasamento: per ogni 20dB/dec la fase varia di 90° (compresi i segni).
Ad es. per una fdt con due poli se ad una certa frequenza la pendenza è -40dB/dec la fase vale -180°, mentre se la pendenza è -20dB/dec la fase vale -90°, ovviamente in modo approssimato.
Il criterio approssimato dice che se in corrispondenza di ω0dB la pendenza è:
-20dB/dec, W è stabile
-40dB/dec ma prossima al cambio da -20dB/dec a -40dB/dec, bisogna applicare il criterio generale
-40dB/dec ma ‘lontana’ dal cambio tra -20dB/dec a -40dB/dec, W è instabile
- 60dB/dec è sicuramente instabile
Il criterio è caratterizzato da un errore di qualche decina di gradi (anche ± 30°).
Il criterio offre un metodo semplice per correggere (compensare) eventuali situazioni di instabilità. Infatti se la pendenza è troppo elevata, per eliminare l’instabilità, basta introdurre una rete che riduca tale la pendenza in prossimità di ω0dB.
11. Luogo delle radici (Walter R. Evans, 1920-1999, Developed while he was a graduate student at UCLA)
E' un grafico sul piano s che rappresenta la posizione di poli e zeri della W a partire dalle radici di GH ed al variare del guadagno d'anello k da 0 a +∞. Normalmente le variabili non controllabili (rumore a bassa frequenza, derive termiche, incertezza sui parametri ) agiscono prevalentemente su k, e non sulla posizione delle radici, e quindi il diagramma si rivela molto utile. Valutando la parte reale dei poli, si può ricavare il campo di valori di k che rende il sistema stabile.
Teoricamente si possono far variare altri parametri al posto di k.
Sappiamo che i poli di W sono le radici della funzione caratteristica 1+GH; con GH = N/D bisogna risolvere l'equazione 1+N/D=0, (D+N)/D=0, D+N=0;
ad es. se GH=k/(s+p) bisogna risolvere k+s+p=0; s=-p-k. Se k=0 il polo di W coincide con quello di GH, mentre all'aumentare di k il polo diventa sempre più negativo. Si può generalizzare dicendo che con k → 0, i poli ad anello chiuso coincidono con quelli ad anello aperto.
Il grafico, simmetrico rispetto all’asse reale (le radici se complesse sono anche coniugate), ha un numero di rami pari al numero di poli di GH e questi rami iniziano, per k=0, dai poli di GH.
Esistono delle regole che ne consentono il tracciamento, ma l'argomento è affrontato solo in laboratorio utilizzando matlab.
In particolare per un sistema del 3° ordine con poli ad anello aperto reali e negativi, si osserva che, all'aumentare di K, il polo maggiore si allontana mentre gli altri due si avvicinano e diventano dominanti; quindi coincidono ed ancora diventano complessi e coniugati con parte reale progressivamente sempre più piccola fino ad annullarsi; infine la parte reale diventa positiva rendendo il sistema instabile.
Spesso i sistemi in retroazione, anche se di ordine elevato, presentano una risposta analoga a quella dei sistemi del secondo ordine, per la presenza di una coppia di poli “dominanti” complessi coniugati, cioè una coppia di poli (i più vicini all'asse immaginario) il cui contributo nell'espressione del transitorio è notevolmente più importante di quello degli altri poli.