Peppe Poma
1. Ordine di un sistema.
L'ordine di un sistema dipende dal numero di elementi accumulatori di energia; ad ogni elemento corrisponde una variabile, detta di stato, che rappresenta l'evoluzione energetica del sistema, compresa la sua condizione iniziale. Gli elementi devono essere indipendenti nel senso che non devono essere riconducibili ad un unico elemento: ad es. due condensatori in parallelo corrispondono in realtà ad un unico componente e il sistema è del 1° ordine.
I sistemi del primo ordine sono caratterizzati da una sola variabile di stato e da un solo elemento accumulatore di energia (induttore, condensatore, molla,ecc.), oltre che da elementi dissipatori (resistori elettrici, resistori termici, smorzatori, ecc.).
Le variabili d'uscita dipendono delle variabili di ingresso, dalle variabili di stato e dai parametri del sistema.
2. Discussione qualitativa sulla carica in un circuito RC, esponenziale e costante di tempo.
Si consideri il circuito RC serie alimentato da un generatore di tensione costante. Si definiscono le seguenti variabili:
E tensione di alimentazione
vr tensione sulla resistenza
vc tensione sul condensatore
i corrente di maglia
Il modello matematico del circuito è formato da:
l'equazione alla maglia, E=vr+vc; vr=E-vc *
legge di Ohm i=vr/R **
equazione costitutiva del condensatore Δq= C*Δ vC ***
Alla chiusura del circuito si consideri il condensatore scarico, vc(0)=0; quindi vr=E+0=E *; i=E/R.**
Circolando corrente il C si carica, q aumenta e vc aumenta ***
Quindi vr diminuisce *, e così anche i.
Circola sempre corrente ma in misura minore; il C si carica ma di meno (con una pendenza inferiore) e allo stesso modo vc.
Più vc aumenta, meno corrente circola e più lentamente aumenta vc.
vc si avvicina sempre di più ad E e quando, idealmente, vc =E, vr=0 *, i=0 **, il condensatore non si può più caricare e il processo di carica si arresta.
Si conclude affermando che a regime, per tempi molto lunghi, il condensatore è un circuito aperto.
L'analisi svolta è generalizzabile a qualunque circuito resistivo (più resistenze) con un solo condensatore, alimentato da generatori costanti e sottoposto a gradini dei generatori o tasti che modificano improvvisamente il circuito.
E' necessario valutare il circuito equivalente di Thévenin visto dai capi del condensatore e valutare vc(0) prima del cambiamento.
La determinazione della tensione ai capi del C è obbligatoria in quanto variabile di stato.
Si può dimostrare che l'andamento temporale è un esponenziale: vc(t)= vcf - ( vcf - vci )*e -t/τ
con:
vcf = tensione equivalente di Thévenin
vci = tensione prima del cambiamento
τ = C*Req
Req resistenza equivalente di Thévenin
Tutte le altre variabili si evolvono con lo stesso tipo di legge tranne:
bisogna studiare il circuito iniziale non semplificato con Thévenin
il valore iniziale, subito dopo il cambiamento, può non coincidere con il valore precedente
il valore finale va calcolato con il condensatore aperto.
3. Studio nel dominio del tempo di un circuito RC alle differenze finite.
Si consideri il circuito serie RC al quale applichiamo un generatore di tensione di forma arbitraria. La tensione sul condensatore, vc(t), è per il sistema una variabile di stato e bisogna conoscere il suo valore iniziale.
Il sistema è descritto da:
equazione alla maglia: vI(t) = vR(t) + vC(t)
legge di Ohm: vR(t)= R* i(t), con i(t) corrente di maglia e quindi anche sul condensatore
modello matematico del condensatore tra tensione e corrente: i(t) = C*Δ vC(t)/Δt, con:
Δt intervallo temporale finito
Δ vC(t)= vC(t+Δt) - vC(t); differenza tra due valori consecutivi, intervallati di Δt; vC(t+Δt) = vC(t) + Δ vC(t)
Sostituendo si ottiene il sistema:
vI(t) = R*C*Δ vC(t)/Δt + vC(t)
vC(t+Δt) = vC(t) + Δ vC(t)
da cui l'espressione finale:
Δ vC(t) = ( vI(t) - vC(t) ) * Δt/RC
vC(t+Δt) = vC(t) + Δ vC(t)
Conoscendo( vI(0) - vC(0) ) , si ricava Δ vC(0);
si sostituisce nella seconda equazione e si ricava vC(Δt);
Conoscendo ( vI(Δt) - vC(Δt) ), si ricava Δ vC(Δt);
si sostituisce nella seconda equazione e si ricava vC(2Δt);
Si continua per iterazione fino al tempo desiderato.
4. Circuito CR
R e C si scambiano di posto.
Lo studio è identico. Semplicemente la variabile di uscita è la tensione sulla resistenza.
Di conseguenza i segnali a frequenza alta passano e i segnali a frequenza bassa, compresa la continua , non passano: il circuito si comporta da filtro passa alto.
5. Transitorio e regime: tempi di risposta ed errore a regime.
La risposta di un sistema è composta da due parti:
fase transitoria, andamento della risposta dall'istante iniziale fino a quando non ci sono più variazioni, teoricamente per t →∞ . Nel caso di sistemi del primo ordine, praticamente si assume che il transitorio si esaurisca dopo 5-6 volte la costante di tempo. La durata del transitorio caratterizza il comportamento dinamico del sistema: se dura poco o molto, relativamente a un riferimento, il sistema è lento o veloce. Una valutazione quantitativa si effettua attraverso i seguenti tempi:
tempo di salita (Tr, rise time) tempo affinchè il segnale passi dal 10% al 90% del valore finale
tempo di ritardo (Td, delay time) tempo affinchè il segnale passi dall'istante iniziale al 50% del valore finale
tempo di assestamento (Ta, settling time) tempo per rientrare definitivamente entro il 5% (o diversamente indicato, 1-2-3%) del valore finale
condizione di regime, valore che assume la risposta per tempi molto lunghi. Spesso nei sistemi di controllo si vuole che l'uscita assuma il valore dell'ingresso; una condizione di regime diversa dall'ingresso rappresenta quindi l'errore a regime del sistema. In altre parole si parla di precisione a regime.
per un sistema del 1° ordine la durata del transitorio dipende solo dall'unica costante di tempo del circuito:
Tr = 2,2τ
Td = 0,7τ
Ta = 3τ