Teorema di Millman

E' uno strumento potente per risolvere, con un unico passaggio, reti elettriche anche complicate e in cui agiscono parecchi generatori

Si applica a circuiti resistivi con generatori di tensione e corrente, formati da rami in parallelo e consente di ricavare la tensione sul parallelo.

Il numero dei rami non è importante.

Questi rami possono essere:

semplici resistenze
generatori di tensione con resistenza serie (un generatore di tensione senza resistenza serie imporrebbe il suo valore a tutto il parallelo)
generatori di corrente con o senza resistenza serie

Con riferimento alla figura, per il teorema di Millman risulta:

E1/R1 - E2/R2 - I1 + I2

VAB = ________________________

1/R1 + 1/R2 + 1/R3

Bisogna porre particolare attenzione ai segni.

Si osserva che:

l'equazione è dimensionalmente corretta
E1 contribuisce positivamente perchè rende il potenziale del nodo A maggiore di quello del nodo B, quindi VAB>0
E2 contribuisce negativamente
Il ramo con R3 non fornisce contributi a numeratore, ma solo a denominatore, perchè è come se avesse in serie un generatore di tensione nulla
I1 contribuisce negativamente perchè rende il potenziale del nodo A minore di quello del nodo B (riduci il circuito a R3, I1 e R4; da questo semplice circuito si può anche osservare che R4 non influenza VAB...)
I2 fornisce un contributo positivo.

Es. Verificare la funzionalità di un diodo led RGB utilizzando i seguenti circuiti

A

B

Il diodo RGB è un dispositivo a 4 terminali formato da tre diodi con un terminale, il catodo o l'anodo, in comune. Nel nostro caso è in comune l'anodo.

Nel caso A un'unica resistenza limita la corrente nei 3 diodi, nel caso B ogni diodo ha la sua resistenza di limitazione. Chiudendo i tasti dovremmo avere diverse combinazioni di colori.

Tuttavia la prova di laboratorio ha evidenziato una buona funzionalità del circuito B, mentre nel caso A chiudendo i tre tasti l'unico colore attivo è il rosso.

Per spiegare questo comportamento bisogna analizzare i circuiti e calcolare la tensione ai capi dei rami dei diodi: se la tensione sul ramo è maggiore della tensione di soglia allora il diodo conduce. A questo scopo ben si presta il teorema di Millman.

Si suppone:

E=15V, Rg=50Ohm, R1=R2=R3=1KOhm;
i 3 tasti chiusi
Per i 3 diodi si utilizza il modello ON con batteria e resistenza serie

Caso A

Supponendo i tre diodi in ON si ha:

E/(Rg + R1) + V1/R + V2/R + V3/R

VAB = _____________________________________________ = 2,6V

1/(Rg + R1) + 1/R + 1/R + 1/R

Si deduce che i diodi verde e blu sono OFF perchè VAB è inferiore alla loro tensione di soglia.

Questo spiega il comportamento osservato in laboratorio e si conclude che lo schema A non è corretto.

Il valore ricavato non è accettabile perchè l'ipotesi iniziale si è rivelata errata; bisogna rifare i calcoli con i due diodi off:

E/(Rg + R1) + V1/R

VAB = ______________________________ = 2,2V

1/(Rg + R1) + 1/R

questo risultato conferma a maggior ragione lo stato di conduzione dei diodi.

Supponendo i tre diodi in ON si ha:

E/Rg + V1/(R + R1) + V2/(R + R2) + V3/(R + R3)

VAB = _____________________________________________________= 13,4V

1/Rg + 3/(R + R1)

In questo caso la tensione sui rami dei diodi è ampiamente superiore alla loro tensione di soglia e quindi l'ipotesi iniziale di conduzione è corretta. Alla chiusura di un tasto il relativo diodo conduce indipendentemente dagli altri e il circuito funziona come desiderato.

Supponendo tutti i diodi ON e sostituendo il modello ai diodi si ottiene il seguente schema:

Caso B

Supponendo tutti i diodi ON e sostituendo il modello ai diodi si ottiene il seguente schema: