Arvojoukko tarkoittaa, mitä kaikkia arvoja funktiosta voi tulla, jos muuttujan (x:n) paikalle laitetaan kaikki mahdolliset (muista määrittelyjoukko!) luvut.

Sinin ja cosinin kohdalla erikoista on, että niiden arvot ovat aina välillä [-1, 1].

• Usein arvojoukkoa selvitettäessä joudutaan laskemaan erikseen funktion suurin ja/tai pienin arvo derivaatan avulla tai tutkimaan raja-arvoja x:n kasvaessa tai pienentyessä rajatta. Tämä on usein työlästä ja sinin ja cosinin kohdalla kannattaakin aina ensin tutkia, voiko tämän välttää.

Esimerkki 1 (päättely suoraan)

Mikä on funktion f(x) = 2sin(3x) - 1 arvojoukko?

Ratkaisu

Koska sini voi saada arvoja vain väliltä [-1, 1], funktion suurin arvo tulee, kun sinin arvo on 1. Tällöin funktion arvo on 2^.1 - 1 = 1.

Vastaavasti pienin arvo tulee, kun sinin arvo on -1 ja arvo on 2^.(-1) - 1 = -3.

• Huomaa, että sillä ei ole laskun kannalta mitään merkitystä, että sini otetaan lausekkeesta 3x. Sinin suurin arvo on silti 1.

Esimerkki 2 (derivaatan avulla)

Mikä on funktion f(x) = sin(x) - ½sin(2x) arvojoukko?

Ratkaisu

Sinin suurin arvo on kyllä 1, mutta se ei tule samaan aikaan (=samalla x:n arvolla) molemmista termeistä. Turvaudutaan derivaattaan.

f'(x) = cos(x) - cos(2x) = 0, kun cos x = cos 2x, josta

Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa. Koska kyseessä on aito trigonometrinen funktio, väliksi voidaan valita [0, 2pii]. Tälle välille osuu derivaatan nollakohdista (välin päätepisteiden lisäksi)

Lasketaan funktion arvo kaikissa neljässä pisteessä (taulukkoon kulmat merkitty asteina)

Suurin arvo on siis noin 1,30 ja pienin -1,30. Alla vielä kuva, miltä alkuperäinen funktio näyttää (kuvassa kulmat radiaaneina, jolloin välin päätepiste on n. 6,28).