Derivoituvuus

Derivaatta on määritelty ns. erotusosamäärän raja-arvona. Koska raja-arvo ei ole aina olemassa (toispuoleisten raja-arvojen oltava samat!), myöskään derivaatta ei siis ole aina olemassa.

• Jos pitää tutkia, onko funktio (jossakin kohdassa) derivoituva, pitää tutkia onko kyseinen erotusosamäärän raja-arvo olemassa.
• LISÄKSI: Ollakseen derivoituva, funktion on oltava jatkuva (kyseisessä kohdassa).

Esimerkki 1

Tutki, onko funktio derivoituva kohdassa x = 2.

Ratkaisu

Tutkitaan ensin, onko funktio jatkuva kohdassa x = 2.

-> Funktio ei ole jatkuva kohdassa x = 2, joten se ei voi myöskään olla derivoituva siinä.

Esimerkki 2

Tutki, onko funktio f(x) = |2x - 6| derivoituva kohdassa x = 3.

Ratkaisu

Funktio on selvästi jatkuva kohdassa x = 3 (lim f(x) = f(3) = 0).

Tutkitaan, onko erotusosamäärän raja-arvo olemassa ja lasketaan sitä varten toispuoleiset raja-arvot kohdassa x = 3. Kirjoitetaan sitä varten funktio ensin ilman itseisarvoja.

Lasketaan toispuoleiset raja-arvot:

-> Raja-arvoa ei ole olemassa, joten funktio ei ole derivoituva kohdassa x = 3.

Esimerkki 3

Tutki, onko funktio derivoituva kohdassa x = 0.

Ratkaisu

Tutkitaan ensin, onko funktio jatkuva kohdassa x = 0.

Funktio on jatkuva, joten tutkitaan onko erotusosamäärän raja-arvo olemassa kohdassa x = 0.

-> Raja-arvo on olemassa, joten funktio on derivoituva kohdassa x = 0 (ja siis f'(0) = 1).