Polynomien jakaminen tekijöihin on erittäin monikäyttöinen taito, jota voidaan hyödyntää yhtälön ja epäyhtälön ratkaisussa, murtolausekkeiden käsittelyssä, raja-arvolaskennassa ja funktioiden tutkimisessa.

Jos funktiolla on rationaalisia nollakohtia, tekijöihinjako voidaan aina tehdä jakokulman avulla. Tämä perustuu siihen, että jos jokin funktion f(x) (tai polynomin) nollakohta on x = a, funktion yksi tekijä on x - a.

• Polynomin P(x) = x² + 3x - 4 yksi nollakohta on x = 1. Tällöin tiedetään, että P(x) on jaollinen tekijällä x - 1.
• Logiikkaa voidaan käyttää myös toiseen suuntaan: Jos haluamme muodostaa toisen asteen polynomin, jonka nollakohdat ovat x = 2 ja x = 3, yksi sellainen on
  • (x - 2)(x - 3) = x² - 5x + 6.
• Kolmas tähän liittyvä päättelylogiikka on, että jos tiedämme polynomin olevan jaollinen tekijällä x - 8, tällöin on oltava P(8) = 0.

Esimerkki

Tutkitaan funktiota f(x) = x⁴ + x² - 2. Huomataan, että yksi funktion nollakohta on x = 1, koska 1⁴ + 1² - 2 = 0. Funktiolla on siis tekijä x - 1. Jaetaan funktio nyt jakokulmalla tekijöihin:

Jakaminen aloitetaan päättelemällä, millä x pitää kertoa, että tulos olisi x⁴. Merkitään tämä (x³) jakokulman yläpuolelle ja kerrotaan sillä molemmat termit x ja -1.

Seuraavaksi vähennetään ylemmästä jaettavasta rivistä alempi:

Tämän jälkeen aloitetaan algoritmi alusta katsomalla, millä x pitää kertoa, että tulos olisi x³. Merkitään tämä (x²) ylös ja saadaan seuraava rivi

Suorittamalla uusi vähennyslasku ja algoritmi vielä kerran saadaan

ja lopulta

Jako meni tasan - kuten pitikin! - koska jakojäännös on nolla.

Nyt siis funktio on saatu jaettua tekijöihin f(x) = x⁴ + x² - 2 = (x - 1)(x³ + x² + 2x + 2). Tekijöihin jakamista voitaisiin jatkaa, jos tekijälle x³ + x² + 2x + 2 keksitään myös jokin nollakohta (kokeile!).

• Luonnollisesti myös symboliset laskimet osaavat jakaa polynomeja tekijöihin (Texas: 3: Algebra -> 2: Tekijä).