Tason normaalimuoto on

missä a, b, c ja d ovat vakioita (lukuja).

Tason normaalivektori eli tasoa vastaan kohtisuorassa oleva vektori on

Tason yhtälön muodostamiseen siis riittää, jos tunnetaan jokin tason normaalivektori ja jokin tason piste.

• Normaalivektori on kohtisuorassa molempia tason kantavektoreita vasten.

Tason normaalimuoto voidaan muodostaa monella eri keinolla.

1. Normaalimuoto parametrimuodon avulla

• Kun tiedetään tason vektori- tai parametrimuoto.

Jos käytettävissä on tason parametrimuoto, normaalimuoto voidaan muodostaa käyttämällä yhtälöparista tuttua sijoituskeinoa. Ratkaistaan ensin jostakin yhtälöstä toinen vakioista (esim. p) ja sijoitetaan tulos kahteen muuhun yhtälöön, jolloin jäljellä on enää toinen vakio (esim. t). Ratkaistaan sitten toisesta yhtälöstä toinen vakio (t) ja sijoitetaan se kolmanteen yhtälöön, jolloin jäljelle ei jää kumpaakaan vakiota.

2. Normaalimuoto yhtälöryhmän avulla

• Kun tiedetään kolme tason pistettä.

Vaikka tason normaalimuodossa on neljä tuntematonta a, b, c ja d, se on mahdollista ilmoittaa vain kolmen tuntemattoman avulla. Jakamalla luvulla d, yhtälö saadaan muotoon

px + qy + rz + 1 = 0. Käyttämällä tätä, tason normaalimuoto on mahdollista muodostaa kolmen tasolla sijaitsevan pisteen avulla ratkaisemalla yhtälöryhmästä p, q ja r.

(Yhtälöryhmän ratkaisu on helppoa mutta työlästä, joten avuksi tulee CAS: Algebra -> Ratkaise yhtälöryhmä).

• Jos taso kulkee origon kautta, menetelmä ei toimi, koska tällöin d = 0. Tällöin yhtälö voidaan jakaa esim. luvulla a, jolloin yhtälö saadaan muotoon x + py + qz = 0, josta ratkaistaan p ja q.
• Jos p, q tai r ei ole kokonaisluku, yhtälön voi kertoa jollakin luvulla niin, että kaikki kertoimet ovat lopulta kokonaislukuja. Näyttää nätimmältä. :)
  • Huomaa, että jos kahdella tasolla on sama normaalivektori, tasot ovat yhdensuuntaiset.
  • Siten esimerkiksi tasot -4x + 2y + 3z - 1 = 0 ja -4x + 2y + 3z + 999 = 0 ovat yhdensuuntaiset.
  • Kahden tason välinen kulma on sama kuin niiden normaalivektorien välinen kulma.

3. Normaalimuoto ristitulon* avulla (CAS)

• Kun tiedetään kaksi tason vektoria ja yksi tason piste.

Kätevä tapa muodostaa normaalimuoto on käyttää ristituloa. Ristitulon tulos on vektori, joka on kohtisuorassa molempia vektoreita vastaan ts. se on vektoreiden määräämän tason normaalivektori.

(*ristitulo ei kuulu lukion opetussuunnitelmaan)

• Matriisi ja vektori -> C Vektori -> Ristitulo (esim. crossP(a,b))
  • Vektori syötetään laskimeen käyttäen hakasulkuja, esim a:=[-4, 2, 3] on sama kuin a = -4i + 2j + 3k.
• Kun kertoimet a, b ja c on normaalivektorista saatu, tason normaalimuodon vakio d saadaan laskettua sijoittamalla yhtälöön ax + by + cz + d = 0 jokin tason piste (x, y, z).