Esimerkki (Johdanto)

Kuullunymmärtämiskokeessa on 10 kysymystä, joista jokaisessa on 3 eri vaihtoehtoa. Millä todennäköisyydellä opiskelija saa arvaamalla

a) nolla oikein

b) vain ensimmäisen oikein

c) tasan yhden oikein

d) vain kaksi ensimmäistä oikein

e) tasan kaksi oikein?

Ratkaisu

Oikean vastauksen todennäköisyys yhdessä kysymyksessä on 1/3 ja väärän 2/3.

a) Kaikkien on mentävä väärin eli P(0) = (2/3)¹⁰ = 0,0173 = 1,73 %

b) Ensimmäisen on mentävä oikein ja muiden väärin eli (1/3)*(2/3)⁹ = 0,00867 = 0,867 %.

c) Mikä tahansa kymmenestä saa olla oikein, joten on kymmenen vaihtoehtoa. Jokaisen yksittäisen vaihtoehdon todennäköisyys on 0,00867, joten

P(1) = 0,00867+0,00867+...+0,00867 = 10*0,00867 = 0,0867 = 8,67 %.

d) Kaksi ensimmäistä on mentävä oikein ja kahdeksan viimeistä väärin eli (1/3)²*(2/3)⁸ = 0,00434 = 0,434 %.

e) Kaksi oikeaa voivat olla mitkä tahansa kaksi kymmenestä kysymyksestä. Kaksi voidaan valita kymmenestä vaihtoehdosta 45 eri tavalla (nCr(10, 2)). Jokaisen yksittäisen vaihtoehdon todennäköisyys on 0,00434, joten P(2) = 45*0,00434 = 0,195 = 19,5 %.

Esimerkki (Binomitodennäköisyyden laskeminen)

Opiskelija saa yksittäisen matematiikan tehtävän oikein 80 % todennäköisyydellä. Millä todennäköisyydellä hän saa 15 tehtävästä tasan 12 oikein?

Ratkaisu

On siis mentävä 12 oikein (p=0,80) ja 3 väärin (p=0,20) ja nämä 12 voidaan valita 15:stä monella eri tavalla (nCr(15,12)).

Mitä jos edellisessä tehtävässä olisikin pitänyt laskea, millä todennäköisyydellä opiskelija saa vähintään 9 oikein?

Tämä tarkoittaa, että opiskelijan on siis saatava joko tasan 9, tasan 10, tasan 11, ... tai tasan 15 oikein. Pitää siis toistaa sama operaatio kuin edellä, mutta seitsemän kertaa. (Vastakohdan käyttökään ei tässä tilanteessa auta, koska silloin tapauksia on vielä enemmän! Tasan 0, tasan 1, tasan 2, ... tai tasan 8 oikein.)

Halutut seitsemän tapausta on kuitenkin kätevä laskea laskimen summatoiminnolla, jonka symboli on iso sigma:

Huomaa, että yllä luvun 0,8 eksponentti saa kaikki arvot väliltä 9 -> 15 ja samaan aikaan miinuslaskulla on saatu luvun 0,2 eksponentiksi kaikki arvot väliltä 6 -> 0.