Käänteisfunktion derivaatta

Vaikka itse käänteisfunktion määrittäminen on joissakin tilanteissa vaikeaa tai jopa mahdotonta, saattaa silti olla mahdollista laskea käänteisfunktion derivaatan arvo jossakin tietyssä kohdassa. Tämä edellyttää kuitenkin sitä, että pystymme tavalla tai toisella ratkaisemaan yhtälön f(x) = a, missä a on se kohta, jossa käänteisfunktion derivaatta halutaan laskea. Yhtälön ratkaisu x sijoitetaan sitten kaavaan

, missä f' on alkuperäisen funktion derivaatta. (Kaavan todistus alalaidassa.)

Esimerkki

Laske funktion f(x)=x³+4x+1 käänteisfunktion derivaatta kohdassa x = 1.

Ratkaisu

Itse käänteisfunktion määrittäminen on hyvin hankalaa, koska silloin pitäisi pystyä ratkaisemaan x yhtälöstä y=x³+4x+1.

On kuitenkin helppo laskea tai "huomata" yhtälön x³ + 4x + 1 = 1 ratkaisu, koska se on x = 0.

• Huomaa, että koska f(x) on monotoninen (koska f'(x) = 3x² + 4 > 0), yhtälöllä ei voi olla muita ratkaisuja kuin x=0.

Riittää siis derivoida alkuperäinen funktio f'(x) = 3x² + 4 ja laskea tämän arvo kohdassa x = 0 eli f'(0) = 3^.0 + 4 = 4. Nyt siis

Derivoimiskaavan todistus

Olkoon f(x)=y, jolloin f^-1(y)=x eli:

f^-1(f(x))=x ||derivoidaan molemmat puolet x:n suhteen

(f^-1)'(f(x))*f'(x)=1 ||(sisäfunktion derivaatta)

(f^-1)'(y)=1/f'(x)