Korrelaatiokerroin on matemaattisesti jokin luku väliltä [-1, 1]. Luku 1 vastaa täydellistä (lineaarista) riippuvuutta/korrelaatiota ja luku -1 täydellistä (lineaarista) käänteistä riippuvuutta.

• Yksinkertaisissa matematiikan verrantotehtävissä oletetaan vallitsevan täydellinen korrelaatio, joko suoraan (1) tai kääntäen (-1).
• Itseisarvoltaan alle 0,3 oleva korrelaatiokerroin on merkityksetön ja yli 0,6 oleva on huomattava.

Korrelaation tulkinnassa pitää olla varovainen. Sitä käytetään yleisesti sekä vahingossa että tahallaan väärin.

Korrelaatio ei kerro kausaliteetista (syy-seuraus -suhteesta) vielä yhtään mitään!

• Jäätelökorrelaatio
• Kaikki ei ole sitä miltä näyttää
• Korrelaatioon liittyviä argumentointivirheitä

Laskeminen

Korrelaatiokertoimen laskukaava on

eli siinä lasketaan jokaisesta arvoparista niiden poikkema kyseisen arvon (x tai y) keskiarvosta, kerrotaan nämä poikkeamat keskenään, ja summataan kaikki tulot yhteen. Tulos jaetaan arvojen keskihajontojen (s) tulolla ja lukuparien määrällä (n).

• Kaavan käyttäminen on työlästä, joten käytännössä korrelaatiokerroin lasketaan lähes aina taulukkolaskentaohjelman kaavalla =CORREL(x_arvot;y_arvot) tai Excelissä =korrelaatio(x_arvot;y_arvot).
• Poikkeamien tulojen summa jaettuna pelkällä lukuparien määrällä (n) on nimeltään kovarianssi.
• Korrelaatiokertoimen neliö r² on nimeltään selityskerroin tai selitysaste.

Esimerkki 1a

Juoksija vertaili vuotuisia harjoitusmääriään ja pääkilpailussaan saavuttamaansa loppuaikaa.

Näistä muodostui seuraava kuvio (mukana myös regressiosuora/trendiviiva).

Kuvion perusteella on melko selvää, että harjoituskilometrien määrä korreloi käänteisesti loppuaikaan (lisää kilsoja -> vähemmän aikaa).

Korrelaatiokerroin on -0,813 ja selitysaste 0,66. Tämän tulkitaan tarkoittavan, että kilometrimäärä ja loppuaika riippuvat toisistaan voimakkaasti ja harjoittelun kilometrimäärä selittää 66 % loppuajasta.

• Mikään johtopäätöksessä ei tietenkään ole matemaattisen aukottomasti todistettu, mutta tässä tapauksessa (kai?) on uskottava syy uskoa myös kausaliteetin olemassaoloon.

P-arvon laskeminen korrelaatiokertoimen avulla

Ensin lasketaan ns. testimuuttuja t kaavalla

missä r on korrelaatiokerroin ja n on otoskoko.

[ kaava ]

Nyt p-arvo saadaan taulukkolaskentaohjelman kaavalla =tdist(t;n-2;2) tai (suomenkielisessä) Excelissä kaavalla =t.jakauma.2s(t;n-2).

• Käänteisen korrelaation tapauksessa t on negatiivinen ja silloin siitä on otettava ensin itseisarvo.
• p-arvo korrelaation yhteydessä vastaa kysymykseen: Kuinka todennäköistä on saada havaitun suuruinen tai vielä kauempana nollasta oleva korrelaatiokertoimen arvo ilman, että perusjoukossa oikeasti on korrelaatiota?

Esimerkki 1b

Edellä saatiin korrelaatiokertoimeksi -0,81. Lasketaan vielä tämän p-arvo:

Nollahypoteesi olisi, että "harjoituskilometreillä ei ole merkitystä tulokseen". Aineiston perusteella tämän todennäköisyys (p) on kuitenkin vain 2,6 %, joten lenkillä kannattanee käydä edelleen.