Koska toisen asteen yhtälöllä voi olla 0, 1 tai 2 nollakohtaa, toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen on monimutkaista. Ratkaisussa voidaan kuitenkin hyödyntää tietoa, että toisen asteen funktion kuvaaja on aina paraabeli. Epäyhtälöä ratkaistaessa on kuitenkin aina ensin ratkaistava vastaava yhtälö.

Nopeampi tapa paraabelin avulla

Kun nollakohdat on löydetty ratkaisemalla vastaava yhtälö, voidaan paraabelin muodosta päätellä, milloin tutkittava lauseke on positiivinen ja milloin negatiivinen. Lauseke on positiivinen, kun sen kuvaaja sijaitsee x-akselin yläpuolella ja negatiivinen, kun se sijaitsee x-akselin alapuolella.

Esimerkki

Ratkaise epäyhtälö -2x² + 6x > 0.

• Huom. Jos epäyhtälön toisella puolella ei valmiiksi ole nolla, kaikki termit pitää ensin siirtää samalle puolelle, jotta toinen puoli saadaan nollaksi.

Ratkaisu

Lasketaan ensin nollakohdat tekijöihinjaon avulla ja saadaan -2x² + 6x = x(-2x + 6) = 0, kun x = 0 tai x = 3. Kyseessä on alas aukeava paraabeli, joten kuvio näyttää tältä:

Lausekkeen arvot ovat positiivisia x-akselin yläpuolella eli -2x² + 6x > 0, kun 0 < x < 3. (Vastaavasti olisi -2x² + 6x < 0, kun x < 0 tai x > 3.)

• Huomaa, että kuvan ei tarvitse olla kovinkaan tarkasti piirretty. Riittää, että tiedetään nollakohdat ja paraabelin oikea aukeamissuunta.

Yleinen tapa taulukon avulla

Vaihtoehtoinen tapa toisen asteen epäyhtälön ratkaisemiseen on laskea ensin vastaavan yhtälön nollakohdat ja sitten kokeilla nollakohtien välisistä alueista onko lausekkeen arvo niissä positiivinen vai negatiivinen.

Esimerkki

Ratkaistaan epäyhtälö x² - 6x + 5 > 0:

• Yhtälön x² - 6x + 5 = 0 ratkaisut (ratkaisukaavalla) ovat x = 1 ja x = 5.
• Tehdään taulukko, johon merkitään lausekkeen nollakohdat

• Koska tehtävässä kysyttiin, milloin x² - 6x + 5 > 0, taulukosta nähdään, että x:n on oltava joko ykkösen vasemmalla puolen tai viitosen oikealla puolen,
• eli vastaus on x < 1 tai x > 5.

Kokeile

Ratkaise epäyhtälöt

1. x² + 3x > 0
2. 1 - x² > 0
3. x² + 2x + 1 < 0

Ratkaisut

1. x < -3 tai x > 0
2. -1 < x < 1
3. ei ratkaisua