04 Curvas Cónicas
Las Curvas Cónicas se denominan así porque se obtienen al seccionar con un plano una superficie cónica, pero ahora se van a estudiar desde el punto de vista de la Geometría Plana.
ELIPSE
Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados Focos es un valor constante 2a.
HIPÉRBOLA
Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados Focos es un valor constante 2a.
PARÁBOLA
Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado Foco y de una recta llamada Directriz.
Para construirla hemos de tener en cuenta que la elipse tiene dos ejes de simetría, el eje mayor AB y el eje menor CD. La longitud de AB es la del valor constante 2a, y en él se encuentran los Focos F y F'. Conociendo AB y CD podemos hallar los Focos; y conociendo AB y los Focos podemos hallar CD.
A partir de aquí, dividimos AB en dos partes con un punto 1 (da lo mismo dónde, las dos partes siempre sumarán AB).
Con radios A1 y B1 y centros en F y en F' respectivamente encontraremos cuatro puntos de la elipse.
Repitiendo la operación con otros puntos 2, 3, 4 etc. encontraremos tantos puntos como creamos necesario para poder trazarla con las plantillas de curvas.
En la Hipérbola el valor 2a es menor que la distancia entre los Focos.
Para construirla, seguimos el mismo procedimiento que en la Elipse: Un punto 1 sobre la recta que contiene AB, y con radios A1 y B1 y centro en los Focos F y F' respectivamente, obtenemos cuatro puntos. La Hipérbola llega hasta dos puntos en el infinito y vuelve; conviene dibujar tanta como quepa en el papel.
En la Parábola no hay un valor constante como en las otras cónicas. Se trata únicamente de encontrar puntos cuya distancia a la directriz sea igual a la distancia al único Foco.
Para ello trazamos paralelas a la directriz a diferentes distancias y circunferencias con centro en el Foco con los mismos radios. También llega hasta el infinito, por lo que hallaremos tantos puntos como quepan en el papel.
Para el trazado de rectas tangentes a las curvas cónicas se debe emplear la llamada Circunferencia Focal. Se trata de una circunferencia de radio 2a y centro en un Foco (habría, por tanto, dos posibles circunferencias focales, pero solo necesitamos una de ellas).
Las mediatrices de los segmentos con un extremo (M) en la circunferencia focal y el otro en el otro Foco son tangentes a la curva. El punto de tangencia se obtiene uniendo el extremo M situado en la Circunferencia Focal con el centro de la misma.
En la Parábola no hay circunferencia Focal, pero su directriz tiene la misma propiedad. Es como si hubiera un segundo Foco en el infinito en el cual hacemos centro para obtener la circunferencia Focal, que resulta ser una recta.
Trata de hacer estos dibujos con Geogebra, de manera que el punto M pueda moverse por la circunferencia focal (o por la directriz en el caso de la parábola). Si activas el rastro de T y mueves M se dibujará la curva. Las tangentes son, pues, un nuevo método de hallar puntos de una cónica.
También puedes activar el rastro de la recta tangente.
Prueba a obtener tangentes a una cónica que pasen por un punto dado de la curva; por un punto exterior a ella; o paralelas a una dirección dada. La clave siempre está en encontrar el punto M.
Para obtener los puntos de intersección de una recta con una curva cónica (sin dibujarla) trazaremos las circunferencias tangentes a la Circunferencia Focal y que pasen por el otro Foco y su simétrico respecto a la recta. Se trata de los problemas de Apolonio PPC y PPR, según si la curva es Elipse, Hipérbola o Parábola. Los centros de dichas circunferencias serán los puntos buscados.