Cuadratura
Las CUADRATURAS son casos particulares de EQUIVALENCIA en las que transformamos cualquier figura en un cuadrado de igual superficie. El planteamiento es igual que en las equivalencias, y empezamos por igualar las áreas de las dos figuras. Pero en lugar de averiguar una de las magnitudes de la figura resultante como segmento cuarto proporcional entre otras tres, ahora necesitamos el lado del cuadrado-solución, que es el segmento MEDIO PROPORCIONAL entre las dos magnitudes cuyo producto es el área de la primera figura.
Para resolverlo nos serviremos del TEOREMA DE LA ALTURA o del TEOREMA DEL CATETO
La altura de un Triángulo Rectángulo es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.
En este ejercicio, el área del hexágono es el producto del semiperímetro (3 lados) y el apotema. Obtenemos su segmento Medio Proporcional mediante el Teorema de la Altura. Se ha construido el triángulo boca abajo. Su hipotenusa la forman tres lados y el apotema. La altura del triángulo rectángulo separa, pues, el apotema del semiperímetro, y es, por tanto, el lado del cuadrado.
¿Cómo resolver una equivalencia o una cuadratura si la figura no es regular?
Un cateto de un Triángulo Rectángulo es medio propocional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
La solución es convertirla en un triángulo, disminuyendo el número de vértices a la vez que se mantiene la superficie.
En efecto, si se divide la figura en triángulos, trazando diagonales, y mediante paralelas a esas diagonales se mueven los vértices hasta que uno de los lados queda alineado con la base del triángulo adyacente, la figura terminará por ser un triángulo, del cual ya se puede obtener la figura equivalente deseada.
Ambos teoremas derivan del Teorema de Pitágoras. Se puede utilizar uno u otro, el resutado es el mismo. A veces, en el propio problema los elementos aparecen ya colocados para aplicar el de la altura o el del cateto; también la menejabilidad de las medidas puede hacer preferible uno de los triángulos, en aras de la precisión (el del cateto suele ser de menor tamaño).
Otro problema interesante es obtener un cuadrado equivalente a un círculo, la famosa cuadratura del círculo, uno de los tres problemas clásicos que ha traído de cabeza, y sigue trayendo, a geómetras de todos los tiempos, aunque está demostrado que la regla y el compás no son suficientes. El propio Dante en su Comedia dice sentirse como el geómetra empeñado en mesurar el círculo, que piensa una y otra vez sin resolverlo, aunque capítulos antes había criticado a Brisón por intentarlo.
La fórmula del área del círculo que habitualmente utilizamos, π.r², no sirve porque no se trata de segmentos, pero podemos convertirla en πr.r, siendo πr la longitud de su media circunferencia, y r su radio. Ahora sí son dos segmentos, aunque el primero es imposible obtenerlo de forma precisa. Sí que se dispone de varios métodos aproximados, y aquí vamos a utilizar el de Kochanski, que nos proporciona directamente la longitud de casi media circunferencia.
Observa en el dibujo cómo se obtiene el segmento amarillo, correspondiente a la mitad de la longitud de la circunferencia (aproximadamente). Es la hipotenusa de un Triángulo Rectángulo cuyos catetos son el diámetro de la circunferencia, y el resultado de restar a la suma de tres radios el valor del cateto menor de un cartabón cuyo cateto mayor es un radio.