b) Trazados fundamentales
GEOMETRÍA EUCLIDIANA: Las construcciones con regla y compás consisten en el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. La geometría clásica griega impuso esta norma para que las construcciones se considerasen válidas.
El Radio de una circunferencia la divide en seis partes exactamente iguales.
Si aceptamos que una circunferencia completa contiene 360º, podemos obtener de esa manera todos los ángulos múltiplos de 60º, trazando con el compás cortes sobre una circunferencia.
La BISECTRIZ es el procedimiento geométrico para dividir un ángulo en dos partes exactamente iguales. Trazando bisectrices de los seis ángulo que hemos obtenido en la circunferencia podemos construir todos los múltiplos de 30º y 15º sin problemas.
Uno de ellos es el ÁNGULO RECTO, de 90º, que define la segunda dimensión en el espacio plano. Lo podemos trazar como bisectriz entre 60º y 120º, o como mitad de 180º. También podemos trazar 90º en el centro de un segmento, recta que denominamos MEDIATRIZ, y nos sirve para encontrar su centro exacto M.
Podemos seguir trazando bisectrices, pero las medidas de los ángulos contendrían minutos y segundos, las fracciones del grado, y nunca obtendríamos el resto de números enteros. Para ello necesitaremos otros procedimientos.
La obtención de ángulos de distintas medidas nos sirve para la construcción de polígonos regulares, aquellos con todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales.
Los polígonos regulares siempre tienen sus vértices sobre una circunferencia. Dada una circunferencia podemos dividirla en partes iguales para obtener un polígono si somos capaces de construir su ÁNGULO CENTRAL: 360º/nº de lados.
Los ángulos centrales del Triángulo Equilátero, el Cuadrado, el Hexágono y el Octógono son múltiplos de 15º, por lo que su construcción se basa en la obtención de dichos ángulos.
También podemos construir estos polígonos comenzando por uno de sus lados, si trazamos su ÁNGULO INTERIOR, aquel que forma un lado con el siguiente: 180º- Ángulo Central. Podíamos así obtener todos sus lados, o bien encontrar el centro de su circunferencia.
Para obtener el centro de la circunferencia de un polígono conviene conocer la siguiente propiedad:
El valor de un ángulo inscrito en una circunferencia es siempre la mitad del ángulo central correspondiente.
Podemos obtener otros ángulos y, por tanto, otros polígonos regulares, a partir de la llamada sección áurea de un segmento. En efecto, puede demostrarse que el lado del polígono regular de diez lados es sección áurea del radio de la circunferencia que lo circunscribe. El ángulo central de un decágono es 36º, lo cual nos permite también también obtener 18º, 9º o 72º, los cuales combinados con los ángulos múltiplos de 15º nos permitirían construir cualquier ángulo múltiplo de 3º. Este dato va a diferenciar los polígonos regulares que se pueden construir de los que no.
La Sección Áurea (s) de un segmento (a) es la parte del mismo que lo divide de forma que la parte restante (r) guarda la misma proporción con la propia sección (s):
s/a=r/s
La manera de obtenerla se basa en el Teorema de Pitágoras, empleado para lograr √5 del segmento.
Del mismo modo que en matemáticas muchos problemas se resuelven mediante sumas y restas, multiplicaciones y divisiones, en geometría plana continuamente se trazarán unas pocas operaciones básicas: Paralelas, perpendiculares, mediatrices y bisectrices. Estos trazados se realizan empleando una regla y un compás, y también con la escuadra y el cartabón.
Amplía la pizarra adjunta y observa cómo es el trazado de cada una de ellas:
Para trazar una recta paralela a otra que pase por un punto P, dibuja un arco con cualquier medida y que corte a la recta. Haz centro en este corte y traza un segundo arco con la misma medida, pasando por P y cortando a la recta de nuevo. Toma con el compás la distancia entre P y el segundo corte y transpórtala hasta el primera arco, obteniendo así el punto por donde debe pasar la recta paralela.
Para trazar una recta perpendicular a otra que pase por un punto P, dibuja un arco de centro P que corte a la recta con cualquier medida. Lleva esa misma medida 2 veces sobre el arco (ángulos de 60º y 120º). La mediatriz entre esos dos puntos es la recta perpendicular buscada.
Para trazar una perpendicular a un segmento por su punto medio (o para encontrar ese punto medio), traza con cualquier medida arcos que se corten por arriba y por abajo desde los extremos del segmento. La recta que une esos cortes es la Mediatriz buscada.
Para trazar la recta que divide un ángulo en dos partes iguales traza desde el vértice del ángulo un arco (grande) que corte a sus 2 lados con cualquier medida. Haciendo centro en esos puntos, traza dos arcos que se corten. La recta que une el punto obtenido con el vértice del ángulo es la Bisectriz buscada.
