03 Inversión

    La INVERSIÓN es una transformación geométrica con un planteamiento similar a la Homotecia, aunque de resultados muy diferentes.

En la Homotecia se cumple que OA'/OA=k, siendo k un valor constante llamado Razón de Homotecia y OA y OA' las posiciones de un punto y su transformado respecto  al centro de Homotecia fijo O.

En la Inversión se debe cumplir OA.OA'=k, siendo este valor constante la Potencia de Inversión.

    Si aplicas una inversión dos veces a la misma figura, recuperarías el original, algo que no ocurre, por ejemplo, si aplicas dos veces una misma homotecia.

    Según esto, podríamos resolver una Inversión matemáticamente con facilidad, pero habríamos de hacerlo para todos y cada uno de los puntos que formen la figura, no solo los vértices; y a menudo el resultado obtenido tendrá infinitos decimales y habrá que redondearlo. Por ello, siempre será mejor hacerlo geométricamente.

    Lo primero a tener en cuenta es la posibilidad de que haya puntos dobles, es decir, que se transformen en sí mismos. Todos los puntos a una distancia del centro de Inversión O igual a la raíz cuadrada del valor k serán puntos dobles, y formarán la llamada Circunferencia de Puntos Dobles. En los ejercicios de Inversión, a menudo conocemos el radio de esta circunferencia en vez del valor k.

    A partir de aquí, lo mejor es saber cómo se transforman los distintos elementos en relación con esta circunferencia:

    Para transformar cualquier objeto se han de transformar los puntos necesarios (interiores o exteriores) para poder dibujar el elemento resultante según la tabla anterior. Dos puntos, si se ha de dibujar una recta o segmento, tres si se ha de dibujar una circunferencia o arco, y teniendo siempre en cuenta si hay ya puntos resueltos por pertenecer a la Circunferencia de Puntos Dobles.

Una inversión puede tener potencia negativa; en ese caso un punto y su transformado quedarían a uno y otro sentido respecto del Centro de inversión.  La circunferencia de puntos dobles es la misma, aunque sus puntos no son exactamente dobles; más bien son simétricos. Y puede resolverse igual que las inversiones de potencia positiva si después aplicamos una Simetría Central.



EJERCICIOS:

    Puedes practicar aplicando inversiones a polígonos regulares. Puedes hacer que el centro de inversión sea uno de los vértices, o el centro del polígono. Para definir la inversión, puedes hacer que alguno de los vértices sea doble, o situar el transformado de un punto donde quieras.

    Recuerda que debes resolver la inversión para todos los puntos de cada segmento, no solo para sus extremos.

    En la siguiente Lámina sobre inversión encotrarás ejercicios similares a los que pueden aparecer en un examen de EVAU.

CASOS HABITUALES EN UNA INVERSIÓN

Observa en cada caso cómo los elementos en color azul se transforman en los de color naranja, siendo la circunferencia en trazo discontinuo la de puntos dobles. El método para transformar puntos, interiores o exteriores, se basa en el Teorema del Cateto. Cuando la figura tiene puntos dobles, estos pertenecerán también a la solución, facilitando el trazado.

Un caso particular sería el de la circunferencia que no pasa por O pero se transforma en sí misma; la circunferencia es doble aunque sus puntos no lo son, se intercambian unos por otros. Ocurre cuando la potencia de O respecto a la circunferencia es igual a la potencia de inversión; es decir, en las rectas tangentes a la circunferencia desde O, los puntos de tangencia T son dobles en la inversión.

Resulta práctico saber que dos puntos cualesquiera y sus inversos siempre pertenecen a una de estas circunferencias dobles, lo cual nos sirve para hallar el transformado de un punto sin usar el teorema del cateto.