b) RECTAS Y PUNTOS NOTABLES

MEDIATRICES, CIRCUNCENTRO Y CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

    Si trazamos la mediatriz de cada uno de los lados de un triángulo obtendremos tres rectas que coincidirán en un mismo punto, llamado CIRCUNCENTRO. Este punto se encuentra a la misma distancia de los tres vértices del triángulo, ya que cada mediatriz la forman los puntos que equidistan de los extremos de uno de los lados. El circuncentro es el centro, pues, de la CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA al triángulo.

    El circuncentro se encuentra en el interior del triángulo si éste es acutángulo, y fuera de él si es obtusángulo. Si el triángulo fuera rectángulo, el circuncentro sería el punto medio de la hipotenusa.

    Las mediatrices nos proporcionan también el punto medio M de cada uno de los lados del triángulo. Los lados del triángulo resultante de unir los tres puntos medios miden la mitad que los del triángulo original. Este triángulo es, por lo tanto, semejante al primero, y tendrá, además sus lados paralelos y sus ángulos iguales.

ALTURAS Y ORTOCENTRO

    Las alturas son los segmentos perpendiculares a los lados (o su prolongación) que pasan por los vértices opuestos. Para obtenerlas con regla y compás debemos emplear el método para trazar una recta perpendicular a otra por un punto exterior. Las tres alturas coinciden siempre en un punto llamado ORTOCENTRO.

    El ortocentro se encuentra en el interior del triángulo si éste es acutángulo, y fuera de él si es obtusángulo. Si el triángulo fuera rectángulo, el ortocentro coincidiría con el vértice donde se encuentra el ángulo recto.

    Cuando construimos un triángulo en el que conocemos alguna altura es importante tener en cuenta el ángulo recto que forma con el lado opuesto, o también la recta paralela al lado donde se encuentra el vértice.

BISECTRICES, INCENTRO Y CIRCUNFERENCIA INSCRITA

    Si unimos los pies de las tres alturas obtenemos el llamado triángulo órtico, con numerosas propiedades.

    Por ejemplo, que los tres triángulos resultantes al retirar el triángulo órtico serían semejantes al inicial y entre sí; o que las propias alturas son las bisectrices de dicho triángulo órtico.

MEDIANAS Y BARICENTRO

      Si trazamos las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo veremos que también coinciden en un único punto: el INCENTRO. En efecto, cada bisectriz está formada por puntos que equidistan de un lado y otro; el punto donde coinciden dos de ellas debe pertenecer también a la tercera, y está a igual distancia de los tres lados. Ello permite trazar una circunferencia tangente a los tres lados, aunque primero debemos obtener su radio calculando la distancia a cualquiera de los tres.

    Si, una vez trazadas las mediatrices, se une el punto medio M de cada lado con el vértice opuesto obtendremos las MEDIANAS, que también coinciden en un punto, llamado esta vez BARICENTRO. Este no es el centro de ninguna circunferencia, pero es el centro de gravedad del triángulo, y divide a cada mediana en un tercio y dos tercios de su longitud.