01 Equivalencia
Dos figuras geométricas son equivalentes cuando tienen el mismo área o superficie. Si podemos calcular matemáticamente las áreas de las figuras como el producto de dos segmentos, la obtención de una figura de la cual conocemos la medida de uno de esos segmentos, equivalente a otra dada, se resolverá calculando el segmento cuarto proporcional. Podemos hacerlo geométricamente mediante el Teorema de Tales. En el .pdf áreas y perímetros adjunto puedes recordar la fórmula de las áreas más habituales, pero ¡cuidado!, no todas son el producto de dos segmentos, y debes usar tus conocimientos matemáticos para que lo sean.
Si tenemos un rectángulo de lados 60 y 50 mm, y queremos otro rectángulo equivalente de base 35 mm, primero igualamos las áreas:
60 . 50 = 35 . X
Después movemos los términos para establecer la proporción
60/35 = X/50
X es el segmento cuarto proporcional, y lo obtendremos mediante un simple trazado de paralelas, si los otros términos están correctamente colocados (en el mismo orden que en las fracciones).
Otro ejercicio sencillo es construir una figura equivalente a un cuadrado dado; todo se hace igual que en los anteriores; igualar áreas y mediante el Teorema de Tales obtener el segmento que nos falta. La única diferencia es que, al usarse dos veces la medida del lado del cuadrado,su valor es ahora Medio Proporcional; y el segmento a obtener se denomina tercero proporcional en vez de cuarto proporcional.
Hagamos, por ejemplo, un Romboide de altura 40 mm. y ángulos de 60º y 120º equivalente a un Cuadrado de lado 60 mm.
¿Puedes hacer un Rectángulo de base conocida equivalente a un Rombo, o a un trapecio dados? Primero debes lograr que las fórmulas de sus áreas sean el producto de dos segmentos.
¿Y puedes convertir el Rombo en Trapecio, o viceversa, si nos dan la medida de una diagonal del primero, o de la altura del segundo?
Prueba también con otras figuras.
El problema vendrá cuando sea un cuadrado la figura que queremos construir equivalente a otra dada. En ese caso solo conocemos dos segmentos y debemos hallar su media proporcional. No podemos resolverlo por Tales. Estos problemas son las cuadraturas.
Por último, no está de más preguntarse si, verdaderamente las figuras parecen iguales. A veces cometemos errores, y las soluciones gráficas lo muestran claramente.