HOMOTECIA
Una HOMOTECIA es una transformación de una figura en otra en la que la parejas de puntos homólogos quedan alineadas con un punto fijo (O), llamado centro de Homotecia, y se cumple que la razón entre OP' y OP es siempre un valor constante, k, llamado razón de Homotecia, siendo P cada uno de los puntos de la figura y P' su transformado.
OP' / OP = k
La figura resultante tiene los lados paralelos a la original, es, por lo tanto, semejante a ella (ángulos iguales y lados proporcionales). Las medidas se multiplican por la razón de homotecia, y la superficie aumenta el cuadrado de ésta.
Para resolver una homotecia basta con prolongar la recta que une O con cualquiera de los puntos de la figura, y llevar desde O sobre ella la distancia de O al punto tantas veces como indique el valor de la razón de homotecia.
Para el resto de los puntos se puede proceder de igual forma, o completar una figura semejante mediante paralelas.
En el ejemplo se ha aplicado a la figura ABCDEF una homotecia de centro O y k = 3. Sobre la recta OA se ha llevado la longitud OA tres veces. Una vez obtenido A', el resto de la figura se obtiene por paralelas. Los lados de la figura miden el triple que los de la original, y la superficie es nueve veces mayor.
Si el valor de k no es un número entero, el razonamiento es el mismo, pero para hallar un primer punto hay que emplear el Teorema de Tales, o bien el Teorema de Pitágoras, según el caso.
Por ejemplo, si k = 2,7, llevaremos las distancias a O tres veces, pero la tercera habrá que dividirla en 10 partes iguales y la solución estaría en la séptima. En casos así es aún más conveniente hallar un primer punto y obtener el resto por paralelas.
Si el valor constante fuera una fracción, por ejemplo 7/3, el razonamiento es similar. Podemos llevar las distancias siete veces y dividir el resultado entre tres; o bien, podemos dividir una primera distancia entre tres, y llevar el resultado siete veces. La solución sería idéntica.
Por último, si el valor de k es una raíz, o si se pide que el área aumente un número de veces; por ejemplo k= √2 ó k= √3, o lo que es lo mismo, que la superficie se duplique o se triplique.
