02 Potencia

    La Potencia de un punto P respecto a una circunferencia es el producto de los dos segmentos PA y PB que determina una recta secante cualquiera. No importa hacia dónde tracemos la secante, el producto de los segmentos es el mismo, y la potencia es, por lo tanto, la misma. Incluso si llevamos la secante a la posición límite de TANGENTE  a la circunferencia, la potencia sería el resultado de multiplicar el segmento PT por sí mismo:     PA x PB = PT x PT

    Observa que es la misma estructura que la media proporcional del capítulo anterior. Muchos problemas de potencia consisten en hallar un segmento medio proporcional; del mismo modo que, a partir de ahora, podemos resolver cuartas, terceras y medias proporcionales mediante potencia, para resolver, por ejemplo, equivalencias.

    Si alejamos P de la circunferencia, la Potencia aumenta, y si lo acercamos, ésta disminuye. Si P está sobre la circunferencia el valor de la potencia es 0. Si P fuera interior a la circunferencia, la potencia sería negativa. En este caso no podríamos trazar una tangente, pero sí un segmento perpendicular al diámetro que pase por P, y se volvería a cumplir:  PA x PB = PT x PT.

 En ambos casos se considera al segmento PT la representación gráfica de la Potencia.

      Si en vez de una circunferencia hubiera dos, un punto cualquiera tendría potencias distintas para cada una de ellas. También podría ocurrir que tuviera la misma potencia para las dos.

    El lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia para dos circunferencias se denomina EJE RADICAL, y siempre es una recta perpendicular a la que une sus centros.

      Para hallar el eje radical de dos circunferencias basta con encontrar algún punto que tenga igual potencia para las dos, y trazar la perpendicular a la que une los centros. Podemos, por ejemplo, trazar una de las rectas tangentes comunes y encontrar su punto medio; pero suele ser más sencillo emplear una circunferencia auxiliar.

      En efecto, si dos circunferencias se cortan, el punto de corte tendría potencia=0 para las dos y pertenecería a su eje radical. De esta manera, si trazamos una circunferencia auxiliar que corte a las dos circunferencias dadas, podemos encontrar fácilmente los ejes radicales de la auxiliar con cada una de ellas. El punto donde coincidan los dos ejes radicales tendrá la misma potencia para las tres, y pertenecerá, por tanto, al eje radical que buscamos.

      El punto que tiene igual potencia para tres circunferencias se denomina CENTRO RADICAL.

      Desde el centro radical de tres circunferencias se pueden trazar segmentos tangentes a las tres de igual lungitud.

      También se puede hacer lo mismo desde cualquier punto de un eje radical respecto a las dos circunferencias.