d) Problemas de Apolonio

PPR: Circunferencias tangentes a una recta r que además pasen por dos puntos A y B dados.

A continuación, trazamos una recta que pase por A y B y corte a la recta r en un punto, que llamaremos P.

Así queda definida una recta que corta a la circunferencia solución en A y B.  La POTENCIA de P respecto a la circunferencia solución (producto de PA y PB)  me permitirá encontrar el punto de tangencia T sobre la recta.

Para ello basta con obtener el segmento medio proporcional entre PA y PB. En el dibujo se ha empleado una circunferencia auxiliar que también pasa por A y B, y se ha trazado una recta tangente a ella desde P.  La distancia de P al punto de tangencia T será la misma en la recta.

También se podría obtener el segmento medio proporcional empleando el teorema de la Altura, o mejor, el teorema del Cateto.

El problema tiene dos soluciones; una llevando T a la izquierda de P,  y otra llevándolo a la derecha.

En primer lugar, trazamos la mediatriz entre los puntos A y B. El centro de la solución debe estar forzosamente en ella.