Escac i mat

Els jocs de taula són presents a l’aula de matemàtiques, i això es nota al vídeoMAT. En aquesta entrada fem un cop d’ull als vídeos que ens parlen dels escacs, sobre el que explorarem altres possibilitats. 

Comencem pel tauler. És tan i tan quadriculat, que els nens i nenes  de primària de l’escola Vall d’Ondara, de Sant Antolí i Vilanova, a Lleida, han volgut investigar quants quadrats  trobem a un tauler d’escacs. 

Han començat comptant-los d’un en un… però amb nombres tan grans han vist que els seria útil fer servir eines més potents com la suma i la multiplicació. 

De seguida s’han adonat que, a més dels quadrats blancs i negres del tauler, també poden trobar altres quadrats més grans: ens expliquen que hi ha quadrats de 2x2, de 3x3… i un de ben gran, el de 8x8, que inclou les 64 caselles. Ja veieu que és una bona manera de descobrir els nombres quadrats. Ells han fet servir els reglets que tenen a classe per anar deixant registre del que van descobrint. 

I podem seguir estirant el recompte. No teniu curiositat per saber quants n’hi ha de cada mida? 

Per començar, us proposem un joc per a dos jugadors, que hem trobat a la pàgina d’EducaChess, L’Associació Internacional per a la Difusió dels Escacs que sorgeix de l’evolució d’una sèrie d’actuacions d’un grup de persones del món educatiu i, alhora, aficionades als escacs a Catalunya. L’associació  promou la pràctica dels escacs des de primeres edats amb materials i propostes ben enginyoses, com aquesta:

Segur que se’ns poden acudir altres variants, amb quadrats més grans, amb més o menys restriccions.... O ens podem preguntar quin és el mínim de fitxes que podem col·locar sobre el tauler o quin és el màxim.

Però encara tenim feina amb el tema del recompte. Sabem que n’hi ha 204, que són molts. Però com ho podem fer per comptar-los de manera ordenada? Qui s’anima? 

I si encara no en teniu prou… Quants rectangles, de costats paral·lels als costats del tauler, deu tenir?

I si dibuixem els “quadrats torts” que podem trobar al  tauler d’escacs? Podem practicar posant quatre fitxes sobre el tauler que representin els vèrtxes o ens pot anar bé també practicar amb el geoplà, tal com ens proposen des de la pàgina del Puntmat.

També podem fer servir el tauler d'escacs per aprendre a situar punts al pla: Cada peça ocupa un lloc i ens hi referim fent servir dues coordenades. En aquest cas, com al joc dels vaixells, fem servir lletres per a les columnes, i nombres a les files, tal com expliquen al seu material educatiu des del portal EducaChess.

Però el problema més famós dels que es relacionen amb els escacs és el de la llegenda de la invenció del joc. 

«Fa mil cinc-cents anys, Kaid, un poderós rei de l'Índia, després d'haver aconseguit tot el que desitjava a la vida, va acabar en un estat crònic d'avorriment i tristesa. Kaid va demanar al savi Sassa Ben Dahir que l'ajudés, i aquest va inventar un joc per al rei: els escacs. El rei Kaid va aprendre ràpidament, es va entusiasmar i va sortir de la seva letargia. ─Com et puc recompensar? ─li va dir. ─Sa Majestat, ─respongué el savi ─tot el que demano és això: col·loquin un gra d'arròs a la primera casella del tauler, dos grans a la segona casella, quatre grans en la tercera casella i així, doblant els grans d'arròs successivament fins omplir les 64 caselles ─. Al rei Kaid li va semblar una recompensa raonable, però mai podria arribar a complir-ho». 

Mireu com ens l’expliquen els del programa de televisió d’una mà de contes de TV3, fent servir jocs d’ombres:

La pregunta sembla ben senzilla i fàcil de respondre: Si a la primera casella hi posem un gra d'arròs, a la segona el doble, és a dir, 2 grans d'arròs, a la tercera, 4 grans, de manera que a cada casella doblem les que hi ha a l’anterior… 

A l'Institut Montserrat de Barcelona es plantegen si És certa la llegenda dels escacs? i per explicar-nos-ho la representen i la situen a la Xina dels Emperadors. 

El que sorprèn és que a mida que anem avançant els nombres es facin tan i tan grans, ja que en l'última casella hi hauria d'haver 263, o sigui, 9.223.372.036.854.775.808 grans d'arròs. Sumats als de la resta del tauler serien exactament 18.446.744.073.709.551.615 grans d'arròs, que equivalen més o menys a dos mil anys de la collita actual mundial d'aquest cereal.

 Els nois i noies del Col.legi Immaculada Concepció de Barcelona resolen el mateix problema fent servir el full de càlcul: 

Quantes monedes necessitem per a omplir un tauler d’escacs si posem el doble de monedes a la casella següent?

L’Institut de Vilafant, de Girona, els alumnes de 1r i 2n d'ESO també li donen voltes a la pregunta: 

Quant d’arròs va demanar l’inventor dels escacs?

Però ells posen l’accent en la manera de calcular la suma de tots els grans d’arrós del tauler, mostrant pas a pas com es va sumant la successió. 

Un dels primers vídeos guanyadors del vídeoMAT, de l'Escola de Lladurs (Lladurs, Solsonès), també es va fer aquesta pregunta, però d'una manera més concreta: "Caben 18 trilions de granets de blat al camió del Marc?"

Al blog “viatge als escacs” una de les entrades ens parla de Claude Shannon, enginyer i matemàtic nord-americà, és recordat com «el pare de la Teoria de la informació». Entre altres coses, el 1950 va publicar un article on fa un esbós dels algoritmes bàsics per desenvolupar un programa que juga als escacs, malgrat que encara no existia cap ordinador prou potent per poder-lo executar. El fet és que la majoria del programari d'escacs actual es basa en aquests principis. Shannon va fer un càlcul del nombre total de partides possibles, que formarien l'arbre complert del joc dels escacs. Va obtenir l'esgarrifosa xifra de 10120, és a dir: 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000. 000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 partides d'escacs diferents. (Actualment s'estima que aquest nombre és "una mica" més gran: 10123 ). L'anomenat nombre de Shannon és, doncs, un nombre exorbitant,  molt més immens que un Googol.

Encara ens queda per explorar el món de les peces i els seus moviments. Cada peça té un moviment propi. Ens ho expliquen al vídeoMAT els nois i noies de l’Institut Vallvera de Salt, a Girona, al vídeo  Les matemàtiques i els escacs

A INS Sant Just Desvern l’Alumne de Batxillerat, Jordi Fuster Arion, tutoritzat pel seu professor Toni Serrallonga, va presentar el 2010 un treball de recerca titulat: "Els escacs i les matemàtiques”.  

A part del problema dels grans de blat proposa i analitza altres problemes complexes:. Per exemple: "Quin és el mínim nombre de peces d’un mateix tipus que són necessàries per cobrir o amenaçar totes les caselles del tauler?"

Si ens hi fixem en el cavall, aquesta podria ser una solució. 

En el cas de la torre ens mostra, amb una imatge, una manera en la que fan falta 8 torres per cobrir tot el tauler. Amb 7 torres es poden cobrir 63 caselles però sempre farà falta una 8a torre per a cobrir la casella restant (la 64).

També analitza el màxim nombre de peces d’un mateix tipus que poden situar-se en un tauler d’escacs de manera que no se amenacin entre elles. En el cas del cavall, aquest cop necessitarem 32 peces. 

I amb les altres figures? 

Encara surten més preguntes:  "Amb quines peces creieu que ens podem moure per tot el tauler, passant per totes les caselles? Els que hi juguen saben bé que els alfils només es mouen per les caselles d’un color. Així, cada jugador té un alfil que pot accedir a les caselles blanques i un altre a les negres. I la resta? 

La peça que “dona més joc” en aquesta proposta és el cavall, que és la única que no fa un moviment seguint files, columnes o diagonals. Quin recorregut ha de fer un cavall per passar per totes les caselles del tauler, sense posicionar-se dues vegades en cap d’elles.

I acaba explicant com construir un quadrat màgic: un quadrat on posem nombres de manera que la suma dels nombres de cada fila, columna i diagonal sumen el mateix. 

Però en aquest cas el quadrat, a banda de ser molt gran, acompleix altres propietats: 

• Propietat 1: La suma de tots els nombres de cada fila i cada columna sumen 260. 

• Propietat 2: Si dividim per la meitat cada fila i cada columna sumarà exactament la meitat, és a dir, 130. 

• Propietat 3: Si dividim el tauler en quatre parts iguals, els seus nombres sumaran 520. 

Leonhard Euler va descobrir aquest quadrat màgic a partir d’una variant particular del recorregut del cavall en el tauler: Fixeu-vos-hi que podem anar-nos movent d’un nombre al següent seguint el salt del cavall.