Per representar i comunicar

Una de les principals diferències que trobarem a l'hora de fer servir el cercle de fraccions o les parts d'un rectangle unitat va lligada a la representació.

El principal avantatge que trobem en els cercles és que les fraccions es veuen de manera intuitiva: la idea d'unitat (el cercle complert) queda implícita a la peça. Si veiem un semicercle a cop d'ull ja sabem que és 1/2. I el mateix amb un quart.  La relacionen amb el rellotge (un quart d'hora, mitja hora), amb pizzes i pastissos...  Pot ser un bon punt de partida. En canvi els rectangles no deixen intuir tan fàcilment quina és la mida de la unitat.

Un dels primers aprenentatges que ens dona el material prové de la seva pròpia construcció: si optem pel cercle us recomanem que partiu de cercles de cartolina o de paper ja retallats. 

- A partir de cercles de colors.... com podem fer la meitat? 

 - Plegant el cercle per la meitat. És fàcil.  

 - I el quart, plegant la meitat per la meitat. 

 - I quines altres fraccions podem fer plegant? 

Després agafem cercles als que haurem marcat els terços. "Quines fraccions podem obtenir ara plegant els terços per la meitat? I si tornem a plegar? Quines fraccions no hem obtingut encara?"

  - Els cinquens

I si ara els demanem a ells que els dibuixin, que els representin gràficament?

Hem vist els avantatges. Però un dels inconvenients dels cercles és la representació a partir dels dibuixos dels alumnes de les fraccions "senars": terços, cinquens, setens..... Us animem a parlar amb ells i donar-li la volta al problema. 

La nostra experiència ens diu que si recordem als alumnes que el logo dels cotxes Mercedes parteix un cercle en terços els facilitem la feina. El reconeixen. I una vegada ens va sorprendre un alumne fent-nos adonar que...els cinquens són com el de Chrysler.  Altres, per dibuixar els cinquens, diuen que pensen en un dibuix d'una persona, amb el cap, i els braços i cames separats.  Van compartint ajudes. 

De totes maneres estarem d'acord en que les dues imatges que us mostrem solen sortir a moltes de les llibretes dels nostres alumnes, a primària i en alguns casos també a cursos més alts. 

Us animem a que en parleu amb ells. Alguns nois i noies us diran que volien fer cinquens, però se n'adonen que al primer "els han sortit" tres quarts i dos vuitens... i al segon han fet quarts a sota i a dalt "els han sortit" sisens.  

Per tant, si els demanem que representin i comparin les fraccions, hem de tenir molta cura a treballar amb una unitat determinada i fixa en tots els casos. Per això necessitem referències gràfiques fiables. I el material ens les dona. 

Per argumentar: Comparar fraccions.

Si els demanem comparar dues fraccions ens anirà bé que les hagin manipulat. 

Faran servir diferents arguments. Per exemple: 

  - 4/6 és més gran que 3/7 perquè 4/6  passa de la meitat (que serien 3/6)  i la 3/7 no arriba a ser la meitat de la unitat. 

I si no saben comparar-les o fan servir arguments com que el 4 és més gran que el 3... tornem al material. 

Més endavant podrem aprendre tècniques de càlcul complexes, com passar totes dues a fraccions equivalents del mateix denominador. Però, de la mateixa manera que hem de prioritzar el càlcul mental per davant del càlcul escrit, hem de prioritzar el reconeixement de la fracció, i la comparació a partir d'aquesta idea.  Hem de dotar de "significat" les fraccions, de manera que mentalment puguin dir-nos si una fracció és més gran o més petita que la unitat o més gran o més petita que "la meitat". I compartir aquests significats, petits raonaments, argumentacions senzilles amb els companys del grup. 

Estirem una nova activitat a partir de l'activitat lliure

A un grup de cinquè a l'Escola Migdia de Girona feien activitats de fraccions amb material. Però sabem que el material té vida pròpia i porta a fer activitats lliures, de joc, que poden portar a crear noves propostes. 

Un alumne, en Narcís Pi, va fer aquesta composició a la seva taula. 

Quina suma 1?

Una altra activitat interessant a partir dels reglets de Freudenthal és proposar als alumnes un seguit de reglets que, sumats, donin mides properes a la unitat. Quina d'aquestes suma exactament 1? 

Podem demanar-los que justifiquin el ser o no ser la unitat fent servir o no càlcul escrit.

A la proposta anterior podem argumentar que a la tercera tenim tres cinquens i sumant dos dècims també podem obtenir els cinquens que ens falten per completar la unitat. 

També pot servir com a argument que la primera és menor que la unitat perquè tenim mig, un quart i necessitariem un altre quart i el cinquè és menor. 

En canvi per les dues últimes ens serà útil sumar les peces buscant un denominador comú, el 240. En un cas obtenir 238/240 i en l'altre 244/240. Una bona excusa per parlar de la necessitat de ser curosos en les mesures i en el tractament de l'error. 

La segona imatge és un bon exemple de com el 60 és un nombre interessant perquè té un gran nombre de divisors: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 i 30.  Un homenatge als babilonis i al seu sistema de numeració en base seixanta. 

Una altra opció per plantejar aquesta activitat és proposar que busquin sumes de fraccions que donin 1, comparant la llargada amb el reglet unitat. Ens podem trobar amb casos que aparentment siguin equivalents a la unitat, perquè visualment ho semblen, i ens trobem amb la necessitat de fer la comprovació numèrica. És un forma de posar en evidència la necessitat de comprovar la mesura. Ho podem veure en aquest vídeo de José Ángel Murcia, conegut també com "Tocamates".

Però podem anar més enllà. Amb alumnat més gran, els rectangles de fraccions ens permeten fer altres connexions amb les que no estem tan habituats:  si posem les fraccions unitàries en ordre decreixent i unim els punts obtindrem una funció inversa. 

Connexions amb la història. Les fraccions egípcies

Tant el quadre de fraccions de Freudenthal com el cercle de fraccions treballen només amb fraccions unitàries, de numerador 1. Per aconseguir les de diferents numeradors composem peces. 

A Egipte ja coneixien i feien servir les fraccions, però sempre i només fraccions unitàries. 

La raó és purament pràctica: les feien servir per fer repartiments i la manera més pràctica de repartir les racions de manera que les parts no quedin massa esmicolades acostuma a ser fent servir fraccions unitàries. 

Suposem que volem repartir 3 pans entre 5 persones. Hi ha diferents formes de fer el repartiment. 

Una seria fer cinc parts de cada unitat, i repartir les 15 parts resultants. 3/5 per a cada persona. 

Una altra consisteix en fer parts el més gran possibles. No podem donar una unitat a cadascú, però podem fer-ne meitats i donar una meitat a cadascú. La meitat que queda la partim en cinc parts: els dècims. A cadascú li ha tocat una meitat i un dècim. 

Si es haguessin de donar els trossos que ens toquen, segurament preferiríem la manera egípcia de fer el repartiment. 

I per acabar us recomanem que feu un cop d'ull a una altra activitat a partir de fraccions egípcies que proposen des de l'Institut Baix a Mar de Vilanova i la Geltrú, dins el seu bloc Matemàtiques marines: L'ull d'Horus.