En aquesta proposta, i en la següent, no ens centrarem en presentar investigacions noves, sinó que parlarem una mica sobre algunes de les estratègies bàsiques per la resolució de problemes d’investigació.

Hi ha alguns problemes que disposen d’un algoritme de resolució. En aquest cas, identifiquem el problema i apliquem l’algoritme. Si no és aquest el cas, una altra possibilitat és recórrer a la nostra experiència en resolució de “problemes-tipus”: davant d’un problema nou el comparem als que tenim “en memòria”, intentem ajustar-lo al determinat “problema-model” i apliquem el seu mètode de resolució. Però les investigacions matemàtiques, pel seu caràcter més obert, no ens permeten fer-ho sempre d’una manera tan clara. Cal, per tant, disposar d’algunes estratègies més generals que ens facilitin el seu abordatge i resolució.

No existeixen receptes per resoldre problemes d’investigació. El que sí podem fer és, a partir de posar en situacions d’investigació als nostres alumnes, anar explicitant progressivament algunes tècniques i estratègies generals que els poden ajudar a realitzar-les. Intentarem, a continuació, presentar les més bàsiques, tot fent referències a problemes plantejats en les investigacions que hem publicat anteriorment.

A la fase d’abordatge

• Començar per fer “alguna cosa”

Molts problemes d’investigació no tenen un enunciat que s’entengui “a la primera” o que estigui perfectament definit. Hi ha aspectes que s’aniran comprenent a mesura que es comencin a fer unes primeres proves, a realitzar un primer acostament. Per tant no ens hem de quedar aturats. S’ha d’arrencar “fent coses”. Per exemple:

• Si el problema consisteix en trobar l’estratègia d’un joc, cal fer unes primeres partides per veure clares les regles. La proposta El joc d’investigar el joc es dedicava íntegrament a l’anàlisi de jocs.
• En la investigació Tallar i multiplicar (descompondre un nombre en sumands i multiplicar aquests sumands amb l’objectiu d’aconseguir el producte màxim) sovint ens autolimitem a descompondre en dos sumands, però... posa aquesta limitació l’enunciat?
• A Quants quadrets talla la diagonal(esbrinar sense fer el dibuix i coneixent els costats d’un rectangle dibuixat sobre paper quadriculat, quants quadrets tallarà la diagonal) descobrirem que cal ser precís amb el dibuix perquè no sempre és clar si es talla el quadret o passa pels vèrtexs. Quan es passa per un vèrtex comú passa per dos quadrets, però si passa molt a prop se’n tallen tres.

És bo crear un ambient de classe on fer aquestes primeres proves, sense cap objectiu clar encara, estigui ben valorat, trencant la idea de que hi ha una sola manera de fer les coses i es tracta de descobrir quina és.

• Assaig i millora

Les primeres proves no només ens ajuden a millorar la comprensió del problema sinó que són un primer acostament a la seva resolució. És quan es comencen a fer, de forma més o menys conscient, les primeres conjectures, les primeres modelitzacions. O quan s’intueixen unes primeres maneres d’organitzar la investigació. Convé fer conscient al nostre alumnat de que aquestes proves poden tenir un valor constructiu si es van reorientant a partir de les primeres observacions. També, com en el cas anterior, cal fer veure que és una estratègia acceptada i valorada a l’aula.

• “La teva cara em sona”

Com hem dit abans, a mesura que la nostra experiència en resolució de problemes augmenta, també augmenta la nostra memòria sobre problemes resolts. En aquesta fase de resolució del problema, i en les posteriors, convé estar atents per veure si es reconeix algun aspecte del problema, global o parcial, que ja s’hagi resolt en alguna altra ocasió i pugui suposar una ajuda. Una forma més elaborada d’aquest “reconeixement” és la cerca d’analogies. Per exemple, el joc de les dues piles (hi ha dues piles amb fitxes; cada jugador pot agafar una fitxa d’una d’elles o una de cada; guanya qui deixa la taula neta) és anàleg al que es coneix com el joc de l’aranya (sobre una quadrícula i alternadament un jugador dibuixa creus i l’altre rodones; es pot avançar un quadre amunt, a la dreta o en diagonal; es surt d’un dels vèrtexs inferiors; guanya el que arriba al vèrtex oposat diagonalment).

Un altre exemple el podem trobar en la investigació Nombres consecutius (descobrir pautes en l’observació de que gran quantitat de nombres es poden descompondre en la suma de consecutius; per exemple 15 = 7+8 = 4+5+6 = 1+2+3+4+5) on podem trobar algunes relacions amb els nombres triangulars.

A la fase d’atac

• Reduir el problema – Provar amb casos més senzills - Acotar

Si un problema es planteja amb nombres grans es pot provar de trobar pautes amb nombres més petits. Si el problema és un joc es pot reduir el tauler, la quantitat de fitxes o totes dues coses. O estudiar un tros de partida ja començada. També es poden intentar resoldre alguns casos particulars abans de trobar la solució general. Per exemple, en el problema Jugar amb els dits d’una mà que fa una investigació sobre una forma de comptar amb cinc dits, es pot intentar resoldre’l amb dos dits, o amb tres...

• Provar ordenadament

Un exemple d’aquesta estratègia és començar per casos més senzills i avançar progressivament cap als més complicats. És semblant a la reducció del problema, però el fet de progressar amb ordre simplifica i facilita l’observació de pautes. Un exemple clar el tenim si apliquem aquesta estratègia a la investigació Nombres consecutius. En aquest cas serà molt útil investigar l’1, després el 2, el 3, etc. Exemples semblants els podem aplicar a investigacions com Construïm triangles amb llumins o Xarxes i nodes de les propostes que des del CREAMAT vam fer en la campanya Impulsem la geometria.

Hi ha problemes amb més d’una variable com, per exemple, Quants quadrets talla la diagonal, ja que cada costat és una variable. En aquest cas “treballar ordenadament” pot implicar provar alguns casos fixant-ne una de les dues. Per exemple, estudiar uns quants rectangles en els que un dels costats sigui 4 (4x1, 4x2, 4x3, 4x4, 4x5, ...).

Aquesta estratègia va molt bé també en exploracions que conviden a buscar casos diferents amb unes regles específiques com trobar tots el triangles possibles en un geoplà de 3x3 o buscar totes les formes que es poden fer amb quatre triangles rectangles iguals, per exemple.

• Organitzar la informació – Fer taules

Si és un problema en el que es va acumulant informació és bo recollir-la en forma de taula. I si és possible anotar les dades de forma ordenada encara millor. Això ajuda a anar trobant, per exemple, pautes de creixement. Per exemple a la investigació Quants costats? (investigar quin és el màxim de costats que es pot obtenir en un polígon creat en un geoplà de 3x3, de 4x4, de 5x5, etc.) es podrà observar que als geoplans d’ordre senar (excepte el de 3x3) el màxim que s’obté sempre és el quadrat menys un i en els d’ordre parell, el quadrat.

Una taula ordenada, a més, permet predir els “casos següents” i comprovar-los després de forma pràctica. Per exemple, si s’està estudiant quants partits es jugaran en una lliga de dos equips, tres, quatre, etc., es pot construir una taula a partir de les proves que s’han fet. Si es descobreix el patró, el “ritme” de creixement de la quantitat de partits no serà difícil predir que per a 7 equips es jugaran 42 partits (30+12).

En aquestes taules, molt relacionades amb l’estratègia anterior (treballar ordenadament), convé qüestionar-se per quin número es comença: pel zero? Per l’u? Per quin nombre si s’estan estudiant polígons?

Hi ha un altre pas que es pot fer en cursos superiors (a partir de CS de primària). Si es mira verticalment la taula s’observa el creixement, però per donar respostes noves s’ha d’actuar de forma recurrent: no se sap la quantitat de partits d’un cas si no es coneix l’anterior. Cal canviar, en algun moment, a la mirada horitzontal de la taula: com d’un número s’obté l’altre. Això permetrà trobar lleis més generals i poder fer “salts” a la taula. Per exemple, a la investigació anterior, es pot afegir una columna que ajudarà a descobrir una llei que després es podrà descriure retòricament o mitjançant una fórmula, segons l’edat.

• Fer dibuixos o esquemes

Hi ha investigacions que conviden a treballar de forma directa a partir de dibuixos o esquemes. Per exemple si proposem comptar tots els quadrats que es poden veure en una quadrícula de 8x8.

Però, en alguns casos, són esquemes que s’han “d’imaginar”. La representació ajuda a visualitzar el problema, possibilita descobrir aspectes globals o parcials, fer analogies amb altres problemes. El problema que hem plantejat anteriorment sobre esbrinar els partits d’una lliga es pot representar de maneres diferents. Per exemple es pot fer un gràfic que representi els partits amb segments que representen connexions.

Aquest gràfic permet veure que falta una connexió entre C i E i es pot descobrir perquè no s’acompleix una regularitat: de cada punt surten 4 línies. Aquesta observació pot ajudar a veure una pauta secundària (de cada punt surten n-1 línies) que ajudarà a trobar la llei més general.

Aquesta altra forma de representar el problema (una taula de partits) pot proporcionar una fórmula general diferent. Aquí es veu un quadrat de 5x5 al que se li ha de restar la diagonal (P = n²-n).

En general, uns bons esquemes poden ajudar a “visualitzar”, a “pensar”, a “revisar”, a “explicar”...

Veure la segona part de l'article