L’Ars lul·liana fa ús de la combinatòria per fabricar una mena de maquinari que ajudi al raonament i l’argumentació. Les imatges més clares que ens venen al cap quan parlem de l’Ars són figures circulars dividides en sectors connectats de formes diferents. A continuació parlarem de la combinatòria de l’Ars de Llull i mostrarem altres exemples combinatoris aplicats a la narració, a la construcció de poemes i discursos, al calendaris, a l’encriptació...

Són diversos els llibres en els que Llul ens presenta la seva Art. Entre ells l'Ars magna (1276), l'Art demostrativa (1283), l'Ars inventiva (1289) i l'Art breu (1308). En què consistia aquesta Ars? Segons Lola badia (La ciència a l’obra de Ramon Llull)

“L'Art de Llull ha estat descrita com un sistema estructural de pensament: un mètode de presentar les relacions entre les operacions d'uns quants principis generals ben coneguts, amb la finalitat de trobar (invenire) i justificar per raons necessàries (demonstrare) la veritat i la falsedat d'aquestes relacions”

Combinatòria als cercles de Llull

Alguns dels principis triats van ser la bondat, la grandesa, l’eternitat, el poder, la saviesa... Un dels instruments que va proposar Llull per trobar les combinacions d’aquests principis va ser l’ús, entre altres figures, dels coneguts “cercles lul·lians”. Tenim cercles estàtics amb dos o tres cercles, on els principis es connecten amb conjunts de línies o figures poligonals, o cercles dinàmiques, amb cercles concèntrics que es poden girar modificant les posicions. Per altra banda també utilitzava taules triangulars on es recollien les combinacions binàries que es podien obtenir o taules on llistava les ternàries.

Una de les idees claus de Llull per transformar els seus cercles en una ajuda a la sistematització del pensament argumentatiu, sobre qualsevol tema i més enllà del camp de la teologia que els van fer néixer, va ser substituir per lletres (de la B a la K) els noms dels principis, preguntes , entitats ... de cada sector dels cercles. Així podien representar altres conceptes que es podrien combinar mitjançant els cercles. De les possibles combinacions Llull descartava les que contenien lletres iguals, encara que no en tots els casos, o les que presentaven les mateixes lletres en diferent ordre. Així per exemple no s'admetien combinacions com EEE o es consideraven iguals CKD que DCK. Per interpretar cada combinació calia substituir la lletra pel seu significat (GDF podria representar voluntat-eternitat-saviesa o esperança-fortaleça-fe o...). De cada combinació es podien extreure quatre tipus de sil·logismes: universal-afirmatiu, universal-negatiu, particular-afirmatiu i particular-negatiu.

Deixarem de banda les explicacions teosòfiques sobre tots aquets principis i atributs i ens centrarem en el plantejament de qüestions matemàtiques relacionades amb els cercles giratoris. Es pot ampliar la informació sobre l’Ars lul·liana i l’ús concret dels cercles en els enllaços que ressenyarem al final.

A l’Ars Magna apareix, entre d'altres, un dibuix fet amb tres cercles concèntrics giratoris amb nou sectors cadascun . A tots tres cercles apareixen les lletres de la B a la K. A la mateixa Ars Magna una de les imatges ens mostra les 36 combinacions binàries d’aquestes lletres. A cada combinació Llull l’anomenava com una “cambra”. A l’article sobre Llull i les eleccions ja en vam mostar un quadre d’aquest estil.

Donat que la llista exhaustiva de combinacions ternàries no es fàcil de construir amb un quadre d’aquest tipus, Llull fa un llistat de 84 columnes amb 20 subcombinacions a cadascuna d’elles. En total ens presenta 1680 possibilitats per estudiar. D’on surten aquest números? Intentarem explicar-los amb raonaments que poden sorgir o es poden presentar a l’aula sense tenir en compte l’ús de fórmules.

Comencem per estudiar les 84 columnes. Si agafem tres lletres, a triar entre un grup de 9 (de la B a la K), i no volem que s'en repeteixi cap a una terna (no volem BBB, KBK, etc.) tindrem 9 possibilitats pel primer lloc, 8 pel segon i 7 pel tercer. Això fa un total de 504 possibilitats inicials (9x8x7). Però l’ordre no importa. Per a l’Ars lul·liana la terna BFK és similar a la FBK. Un grup de tres lletres es pot ordenar de 6 maneres diferents. No és difícil veure-ho amb un raonament com el que hem explicat abans o, fins i tot, buscar-ho experimentalment. En conseqüència ens hem de quedar amb una de cada sis ternes de les 504 anteriors. D’aquesta manera les ternes vàlides ens queden reduïdes a 84 (504/6).

Continuem pels 20 casos de cada columna. Mirem primer una imatge que recull una de les columnes creades per Llull, la primera de totes: BCD. Observarem que, en aquest cas, sembla que s’accepta una repetició de lletres. Per exemple, a la segona línia podem llegir b-c-t-b.

A priori, repetint lletres, hauríem d’esperar 27 combinacions (3x3x3) i no 20. Intentar deduir quines són les 7 combinacions és complicat perquè no hi ha un sol patró clar. Però a la imatge s’observa una lletra “t” que apareix en diferents llocs. És la interpretació d’aquest “t” la que ens fa torbar el desllorigador. En realitat Llull donava a cada lletra dos atributs diferents: un valor absolut i un de relatiu. La lletra “t” ens indica que les lletres que venen al darrera seran “valors relatius”. Es pot entendre molt millor amb l’ús de majúscules, per uns, i minúscules, pels altres. Així la terna c-d-t-d la podem traduir com CDd, i la terna d-t-b-d com Dbd. Vist així el problema és trobar totes les ternes que es poden formar amb sis lletres (ABCabc) sense que ens importi l’ordre. Raonant com abans tenim que el total seria de 120 possibilitats (6x5x4) de les que ens hem de quedar, per eliminar casos amb les mateixes lletres en diferent ordre, amb la sisena part: 20 (120/6).

Altres cercles combinatoris

• El circumrelator

El circumrelator està format per tres cercles concèntrics superposats que, segons les tirades d'una daus d’uns daus, es fan girar de manera independent, tantes vegades com l’atzar indiqui. Cada cercle conté vuit paraules, la combinació de les quals proporciona unes alineacions que seran el material de base per construir les frases d'un relat o els versos d'un poema. En cada cercle, els escriptors i les escriptores hi hauran escrit 8 paraules associades a un nucli temàtic prèviament escollit i treballat a partir d’evocacions i associacions. Cadascun dels tres cercles conté una categoria gramatical diferent. Així el cercle interior pot contenir verbs, l’intermedi, substantius, i l’exterior adjectius.

A l’enllaç trobareu una proposta didàctica en la que l’objectiu és que els alumnes, amb l’ajuda d’un circumrelator que hauran de dissenyar i fabricar, escriguin un poema basat en el Llibre de les bèsties de Ramon Llull.

Entre els materials que s’incorporen a la proposta hi ha els arxius per poder-se fabricar un circumrelator amb una impressora 3D i les plantilles per col·locar les paraules. És un treball clarament interdisciplinari que relaciona les àrees de llengua, educació artística i tecnologia. Les matemàtiques les podem trobar estudiant la quantitat de combinacions que podem aconseguir amb aquests tres cercles de vuit sectors.

Enllaç al circumrelator

• Discs per xifrar missatges

El més famós dels discs de xifrat de missatge és el Disc d’Alberti. Aquest disc de xifrat va ser descrit per Leon Battista Alberti al seu tractat De Cifris al 1466 i és un dels primers mètodes polialfabètics coneguts. Podeu trobar més informació en el següent enllaç. La seva versió més senzilla és utilitzar el disc per aplicar un Xifratge de Cèsar. Aquest xifratge consisteix en aplicar un alfabet traslladat. Si la clau compartida entre l’emisor del missatge i el receptor és “G” significa que s’han d’alinear les lletres A i g dels dos discs. El cercle exterior ens indica la lletra del text clar (sense xifrar) i l’interior la del text encriptat.

• Calendari perpetu

És un conjunt de tres cercles mòbils i un d’estàtic que ens serveix per saber en quin dia de la setmana va caure una data determinada. En l’exemple que us proposem (que ens ha facilitat Fernando del Blasco) ens ho pot dir de qualsevol data entre els anys 1996 i 2018. Les instruccions d’ús que ens ha proporcionat són les següents:

• S’alineen els sectors del cercle interior que conté el dia que busquem amb el sector del cercle mitjà que conté el mes.
• Es busca el sector del cercle dels mesos que conté un parell de fletxes i s’alinea amb ell el sector del cercle exterior mòbil que conté l’any que busquem. Si l’any és de traspàs s’ha de buscar l’any que porta una “b”, pels mesos de gener i febrer, i el que posa l’any sense la “b” pels altres.
• La fletxa gran d’aquest cercle ens indica el dia de la setmana al cercle exterior estàtic.

• Poesia exponencial (un homenatge a Oulipo)

Al web del CCCB Educació podem trobar una proposat elaborada pel professor Pau Senra i portada a terme a l’Institut Montserrat de Barcelona. Està inspirada en Cent mille milliards de poèmes, un llibre de poesia combinatòria de Raymond Queneau, membre del col·lectiu Oulipo, i publicat a l’any 1961. Cada poema, de la mateixa quantitat de versos, s’escriu en un full de forma que les línies quedin a la mateixa alçada. Un cop enquadernat es retallen els versos de forma que es puguin combinar els dels diversos fulls.

Enllaç a "Poesia exponencial. Homenatge a Oulipo"

• Joguines, jocs, llibres, poemes i discursos combinatoris

Al Blog del Calaix +ie trobem un article, Combinar i comptar (joguines, poemes, discursos...), on es presenten diferents jocs combinatoris. En primer lloc es parla de llibres i joguines que es basen en les combinacions de diferents peces (amb ordre o sense). També trobareu un applet que fa poemes automàtics a partir d’una proposta de l’artista Josep Mercadé Riambau i que va crear per inaugurar justament un monument a Ramon Llull, o un altre applet per crear discursos polítics automàtics. També es parla del joc de daus de Mozart per composar minuets de forma automàtica a partir d’un joc combinatori.

Enllaços

• Ars Magna (Viquipèdia)
• L'Art (Centre de documentació Ramon Llull)
• La combinatoria lul·liana. Un nuevo ensayo de exposición e interpretación de la misma a la luz de la filosofía general europea (P. Erardo, W. Platzeck, O.F.M.)