Quinzenalment el divulgador matemàtic Alex Bellos publica a The Guardian un repte matemàtic (Alex Bellos Monday Puzzle). Encara que no estan pensats directament per a l’aula molts poden tenir possibilitats educatives interessants. El 21 d’octubre de 2019 va plantejar el següent problema:

“Cerqueu totes les maneres d'organitzar quatre punts de manera que només es donin dues distàncies entre dos punts.”

Dit d’una altra manera: hem de trobar totes les formes de disposar quatre punts en el pla de forma que si mesurem la distància entre dos d’ells qualssevol, sempre apareguin dos valors: un de “curt” i un de “llarg”. Una primera solució, que ens pot servir d’exemple, és el quadrat.

Un rectangle no serà solució perquè tindrem tres distàncies.

Abans de continuar llegint us convidem a cercar totes les disposicions. No són tantes com podem pensar en primera instància. Deixarem un espai en blanc perquè no les veieu. Més avall podeu veure les solucions i algunes preguntes noves que ens podem plantejar.

Solucions

Una de les sorpreses del problema és que només hi ha sis disposicions.

Segur que hi no hi ha més figures?

Al Blog de Colin Wright , citat a l’article de Bellos, apareix una bonica demostració en la que la combinatòria juga un cert paper.

Simplifiquem primer el problema: quantes disposicions hi ha amb tres punts i dues distàncies? La resposta és que hi ha dues solucions: dos triangles isòsceles (curt-llarg-llarg i llarg-curt-curt).

Per passar a quatre punts només ens hem de preguntar on col·locar el quart punt D. Aquest pot estar a dues distàncies diferents d’A (curta o llarga), dues de B (també curta o llarga) i dues de C. Si fem una taula trobarem vuit possibilitats.

Amb l’ajuda de GeoGebra podem explorar cadascuna de les possibilitats. Començarem amb un dels dos triangles isòsceles anteriors (llarg-curt-curt). Podem triar quines circumferències volem veure des de cada punt (A, B i C) amb el radi curt (a) o el radi llarg (b). Modificant amb els punts lliscants les longituds d’aquestes distàncies podem buscar el punt on coincideixen les tres circumferències per saber on ha d’anar el punt D i deduir la disposició formada.

Observarem que de les vuit possibilitats surten dues repetides: el trapezi i el triangle isòsceles.

Si provem amb el segon triangle isòsceles (curt-llarg-llarg) no trobarem cap disposició nova i, fins i tot, alguns casos no tenen solució.

Dibuix i construcció

El més normal és cercar les diferents disposicions dibuixant. Hem d’anar amb cura perquè el “paper tot ho aguanta” i pot sorgir algun cas dibuixat que no sigui construïble. Per exemple, el següent.

Per tant és força interessant, un cop trobades les possibilitats, construir-les amb GeoGebra.

Proporcions entre les dues distàncies

Un treball posterior es pot centrar entre les proporcions de les dues distàncies. Cada cas particular imposa una proporció diferent. És un bon treball on hi apareixen tres nombres irracionals bàsics: √2, √3 i Φ.

És bonic observar que les dues darreres proporcions semblen més "lletges" però matemàticament les fa "boniques" que siguin equivalents. Si a batxillerat es vol fer un plus encara podem reduir aquesta expressió (un radical jerarquitzat) per fer-la més senzilla. A l'enllaç explica com fer-ho a partir d'un sistema d'equacions. Però també ho podem fer amb calculadores simbòliques com la de GeoGebra o CalcMe.

I més preguntes…

...que us vinguin al cap. Per exemple: què passa amb quatre punts i tres distàncies? I amb cinc punts i dues distàncies? I si…?